場合 $A$ 実数直線のサブセットです $\mathbb R$ そして $\mathbb Q \subseteq A$ 次のうちどれが正しい必要がありますか？

Question

場合 $A$ 実数直線のサブセットです $\mathbb R$ そして $A$ 各有理数が含まれていますが、次のうち正しいものはどれですか？

（a） $A$ 開いている、そして $A = \mathbb R$。

（b） $A$ 閉じてから $A = \mathbb R$。

（c） $A$ 数えられない、そして $A = \mathbb R$。

（d）もし $A$ 数えられない、そして $A$ 開いています。

（e） $A$ 可算であるなら $A$ 閉じています。

私のアプローチ：

（a）誤り。 $A$ 言うことができます $\mathbb R\setminus \{\sqrt{2}\}$ これは基本的に2つのオープンセットの和集合であるためオープンです $(-\infty, \sqrt 2) \cup (\sqrt 2, \infty)$。

（b）正しい。 $\bar {\mathbb Q}$ を含む最小の閉集合です $\mathbb Q$。そして、私たちは知っています$\bar {\mathbb Q} = \mathbb R$。だからもし$A$ 閉じてから $A = \bar A = \mathbb R$。それはおそらくより大きくすることはできません$\mathbb R$。

（c）誤り。 $\mathbb R \setminus \{\sqrt{2}\}$ 含まれています $\mathbb Q$ しかし、数えられません。

（d）これについてはよくわかりませんが、間違っていると思います。誰かが非可算集合の明示的な例を挙げてもらえますか$A$ 含む $\mathbb Q$ それは開いていますか？

（e）誤り。反例は$\mathbb Q$自体。私達はことを知っています$\mathbb Q$で開いていても閉じていません$\mathbb R$。

Answer 1

（d）については、実際には非可算集合が必要だと思います $A$ 含む $\Bbb Q$それは開いていません。簡単なのは$[0,1]\cup\Bbb Q$。（で（）あなたはすでに1の例で与えたでオープンします。）

あなたの他の答えは正しいです。