場合 $\{a_n\}$ 正のシーケンスであり、 $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$、次にそれを示す $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$。

Aug 18 2020

しましょう $a_n$ 正のシーケンスである。

定義する $b_n$ 次のように:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

質問:それを証明する$\lim b_n=\infty$


私の提案する解決策:反対のことを証明できました(制限は無限大ではありません)。私が間違ったことを教えていただけますか?

私が取った $a_n$ 次のように: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ 次に $b_n$ は: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ 最後を除く最初の要素は、に収束する等比数列の合計です。 $2$ いつ $n$ 大きくなりすぎるので、全体的な制限は $2+a_n$ 確かに無限ではありません...

回答

6 user Aug 18 2020 at 14:15

あなたの反例では何かがうまくいかない、確かにあなたは仮定している

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

したがって

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

それを証明するために $b_n \to \infty$、AM-GMによって私たちはそれを持っています

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

次に、はさみうちの定理で結論を出します。

3 YvesDaoust Aug 18 2020 at 14:40

私たちは書くことができます

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ どこ $c_k$ 正の数です。

の最小値 $b_n$ 勾配をキャンセルすることで見つけられます、

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ または $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

解決策は $p=c_k=1$ そして $b_n=n$ @userによって個別に検出された、可能な最小の合計です。