場合 $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$、 また〜だ $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$？

Question

しましょう $(E_1,\mathcal E_1)$ そして $(E_2,\mathcal E_2)$2つの測定可能なスペースになります。しましょう$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$。しましょう$\mathbb P$ の有効な確率分布 $(E,\mathcal E)$。周辺分布を定義する$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ そして $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$、そして最後に製品の分布をで示します $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$。最後に、私たちが知っていると仮定します\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} 私の質問はそれがそれも保持するかどうかです \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

特に、それが誤りである場合、私は反例を見たいと思っています。また、その場合にそれが真実であるかどうかを知りたいと思います。 $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ 一部の機能について $g$ そして $h$。

Answer 1

それは一般的に真実ではありません。

しましょう $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$、そして $\mu$ 上の確率測度である $\mathbb{R}$最初の瞬間はありません（例：コーシー分布）。しましょう$\mathbb{P}$ の共同法である $(X, X)$ どこ $X \sim \mu$。最後にしましょう$f(x,y) = x-y$。下$\mathbb{P}$、 我々は持っています $Y=X$ として、したがって $f(X,Y)=0$ として、そう $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$。しかし、$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$、 我々は持っています $X,Y$ iidです $\mu$、そしてそれはそれに続く $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$。これを確認するには、トネリの定理を使用して記述します$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ ここで、被積分関数は同じです $+\infty$、を使用して $|X-y| \ge |X|-|y|$。

それは真実ではありません $f(x,y) = g(x) h(y)$。しましょう$W$ 無限の最初の瞬間を持つ確率変数であり、 $Z$ から独立したベルヌーイ（1/2）確率変数 $W$。しましょう$\mathbb{P}$ の共同法である $(WZ, W(1-Z))$、およびセット $f(x,y) = xy$、の形式です $g(x) h(y)$。次に$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ なぜなら $Z(1-Z)=0$ としてしかし $WZ, W(1-Z)$ 同じように分布しているので、 $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$