ベータ分布のパラメーター

Question

ここで、ベータ分布の負のパラメーターについての質問に遭遇しました。以下はその質問へのリンクです：ベータ分布の負のパラメーター

コメントがあります $A$ パラメータ= $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ 、 そしてその $B$ パラメータ= $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

この方程式または少なくともこれの参照に到達する方法を尋ねることはできますか？ウィキペディアで見つかったaパラメーターとbパラメーターを説明しようとしましたが、上記のコメントとは少し異なる回答になりました（同じ回答に到達するには、ウィキペディアのパラメーターに-1を掛ける必要があります）。

手伝ってくれてどうもありがとう。

Answer 1

これは不正行為かもしれませんが、WolframAlphaに方程式を解かせることはできます。

Wolfram Alphaによると、重要な答えは \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} 仮定 $m \neq 0$、 $v \neq 0$ そして $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$。

これは、方程式が等距離グリッド上で生成するものです。 $[0,1]^2$ ために $(m,v)$：

分散の方程式は、次のようにさらにコンパクトに記述できます。 $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

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どんな組み合わせか聞いてみます $(m,v) \in [0,1]^2$ベータ分布の有効なパラメータにつながります。このために、私たちは持っている必要があります$\alpha$ そして $\beta > 0$。これらの条件は両方とも、次の場合にのみ満たされます。\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} これが必要な唯一の条件であることを示しています $m \in (0,1)$。