ベクトル場の接着

Question

しましょう $M$ 滑らかな多様体であり、 $\mathcal{A} = \{(U_i, \varphi_i)~|~i \in I\}$スムーズに関連付けられたアトラス。滑らかなベクトル場があります$X_i$ それぞれの $U_i$ そのような $i, j \in I$、 $X_i$ そして $X_j$ 等しい $U_i \cap U_j$。これらのベクトル場を「接着」することを可能にする定理はありますか？$i.e.$ （一意の）ベクトル場はありますか $X$ オン $M$ そのような $X\big|_{U_i} = X_i$？どうもありがとうございました！

Answer 1

はい、実際、もう少し一般的な結果があります。LeeのIntroduction to Smooth Manifolds 2n​​d edに、次のように表示されます。

当然の帰結2.8（スムーズな地図のための糊付け補題）してみましょう$M$ そして $N$ 境界の有無にかかわらず滑らかな多様体であり、 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ のオープンカバーになる $M$。それぞれについてそれを仮定します$\alpha \in A$、スムーズなマップが与えられます $F_{\alpha} : U_{\alpha} \to N$ マップがオーバーラップで一致するように： $F_{\alpha}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}} =F_{\beta}|_{U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$ すべてのために $\alpha$ そして $\beta$。次に、ユニークな滑らかなマップが存在します$F : M \to N$ そのような $F|_{U_{\alpha}} = F_{\alpha}$ それぞれについて $\alpha \in A$。

これは、マップの場合、 $F: M \to N$ 局所的に滑らかな場合、マップ $F$ スムーズです。