微分方程式を満たす2階微分可能関数

Question

質問は ：

しましょう $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 満足する2回微分可能関数であること

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $ どこ $g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

次のうち正しいものはどれですか？

$(1)$ 場合 $f(0)=f'(0)=1$ 、その後 $f(3)\lt 3$

$(2)$ 場合 $f(0)=f'(0)=2$ 、その後 $f(4)\lt 4$

$(3)$ 場合 $f(0)=f'(0)=3$ 、その後 $f(3)=5$

$(4)$ 場合 $f(0)=f'(0)=3$ 、その後 $f(3)=6$

私の考え：-

私は最初にについて議論します $(3)$ そして $(4)$

しましょう $g(x)=0$

次に、いくつかの計算で、

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$ 廃棄するのに適した候補として $(3)$ そして $(4)$

ここで、オプションについて $(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

両側を二乗することについて

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$、矛盾

同様に $f(3)= 6$ 矛盾を与える

$\sin 3+\cos 3=2$ （意味する $\sin 3=\cos 3=1$ これは不可能です）。

したがって、私たちは残されています $(1)$ そして $(2)$

注：上記の例のわずかな変形は、次の条件を満たす。 $(1)$ そして $(2)$

私は次のような簡単な例で試しました $g(x)=1 $ そして $f(x)=x$ または二次方程式のようですが、結論に達することができませんでした。

オプションを手伝ってください $(1)$ そして $(2)$。御時間ありがとうございます。

Answer 1

エネルギー関数を考慮してください $E=f(x)^2+f'(x)^2$。次に$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$ そのため $E$ソリューションに沿って落ちています。私が見る限り、これは1）と2）が真実であることを意味します。

1で） $f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$ 同様に2） $f(x)\le\sqrt8<4$。3）と4）で得るのと同じ方法$f(x)\le\sqrt{18}<5$、指定された値に到達できないようにします。