微分幾何学を統計に適用するための学習方法
基本的には、情報幾何学、具体的には統計学における微分幾何学の応用を学び、プロジェクトを遂行したいと思っています。私は統計学のバックグラウンドを持っており、実際の分析、いくつかの可変微積分、線形代数についての知識があります。私の教授の一人は、ド・カルモの微分幾何学の最初の3つの章で十分だと私に言いました。誰かがそれで十分かどうか私に保証できますか、それとも私はリーマン幾何学を学ぶ必要がありますか？そして、リーマン幾何学を学ぶ必要がある場合、学習するための私の道は何である必要があります。厳密な数学を学びたくありません。統計に適用したいだけです。
回答
Avishek、あなたが提供した小さな文脈で答えるのは簡単ではありません。
私はあなたの教授が言ったことから最初に行きます、そしてそうです、DoCarmoは行く場所です。
そこで、あなたは表面についてすべてを学びます $R^n$、これは基本的に古典的な微分幾何学です。
一方、プロジェクトが研究レベル（修士論文など）の場合は、この記事をダウンロードしてください。これは抽象的な情報幾何学と関係があり、多様体、テンソル計算などの現代の微分幾何学に依存しています。基本的に、最初と2番目の主な違いは、多様体理論では、埋め込まれた多様体から開始するのではなく、機械全体を本質的に定義します。
表面の古典的な形状がわからない場合でも、DoCarmoに数日を費やす必要があります。次に、現代的なアプローチに入るために、たくさんの汗の準備をします。
それが役に立てば幸い
DoCarmoは良い選択肢だと思います。個人的には、ジョン・リーの「スムーズ多様体入門」とその続編であるリーマン多様体のファンです。これらはより高いレベルで書かれていますが、実際には作業中の幾何学的な絵を強調しています。
ニールセンの調査は良い記事だと思いますし、IGの概要を知ることは非常に役に立ちました。ただし、微分幾何学を学ぶためにそれを使用することはお勧めしません。情報幾何学に関するほとんどの本は、幾何学に対して非常に特異なアプローチを採用しており、さまざまな誤解を招く可能性があります。微分幾何学に既に精通している場合、これらは大したことではありませんが、それを学ぼうとしている場合はもっと問題になります。
IGに興味のある方は、どちらの作品も一読の価値がありますが、私が言っていることの例を挙げましょう。アマリの本とニールセンの調査記事はどちらも、フラット接続のホロノミーは取るに足らないものであると述べています（ただし、この言語は使用していません）。情報幾何学では、関心のあるフラットな接続は一般に指数型分布族にあります（これが最終的には真になります）。ただし、一般に、フラット接続のホロノミーはゼロではありません（基本群によって引き起こされます）。さらに、この結果を得るには、接続が曲率とねじれの両方がない必要があります（曲率がないだけではありません）。統計的マニフォールドは通常、ねじれなし接続であると見なされるため、これはアプリケーションでは問題になりません。微分幾何学に精通している場合、これらは比較的マイナーなポイントです。しかし、それを学んでいる人にとっては誤解を招くでしょう。