ビッグOとリトルO

Question

場合 $a_n = O(n^\alpha)$ そして $b_n = o(n^\beta)$、 証明してください $a_nb_n = o(n^{(\alpha + \beta)})$ そして $a_n+b_n = O(\max(n^\alpha, n^\beta))$。

についての部分について $a_nb_n = o(n^{(\alpha + \beta)})$、私はそれを設定することになっていると思います

$|a_n| < Mn^\alpha$ いくつかの正の実数M $n \geq n'$

$|b_n| < \epsilon n^\beta$ すべての正の実数 $\epsilon$ にとって $n \geq n''$

次に、n 'とn' 'の最大値を選択すると、次のようになります。

$|a_nb_n| < M\epsilon n^\alpha n^\beta$。

私の質問は、これで証明が完成するのでしょうか？正の実数Mに乗算されたものがある場合$\epsilon$、それはすべてにマップされますか $\epsilon$？これをどのように表現しますか？これはここでの実際の分析の証拠だと思いますか、それとも定数にイプシロンを掛けたものが単なるイプシロンであると言えますか？

和の証明としては、マッピングできないため、小さいOではなく大きいOになりますか？ $\epsilon$ 2つの部分を追加するとき？

よろしくお願いします。

Answer 1

にとって $a_n$ 正しい定義を使用します。 $a_n \in O(n^\alpha)$： $\exists C>0, \exists N_1 \in \mathbb{N}, \forall n>N_1, |a_n| \leqslant C n^\alpha$。

少しのために-$o$ にとって $b_n \in o(n^\beta)$ 次の定義を使用しましょう： $\exists \varepsilon_n, \lim\limits_{n \to \infty}\varepsilon_n=0$ そして $ \exists N_2 \in \mathbb{N}$ そのような $ \forall n>N_2, b_n=\varepsilon_n n^\beta$。

だから、取って $n>\max(N_1,N_2)$ 我々は持っています $a_n \cdot b_n= \frac{a_n \varepsilon_n}{n^\alpha} \cdot n^{\alpha+\beta} = \phi_n n^{\alpha+\beta}$。私たちはそれを証明する必要があります$\phi_n \to 0$： $|\phi_n| = |\frac{a_n \varepsilon_n}{n^\alpha}| \leqslant C |\varepsilon_n|\to 0$。

上記を使用して2番目に終了できることを願っています。