ボレルの密度を0に設定

Aug 17 2020

ルベーグの密度定理は、 $E$ ルベーグ測度集合であり、密度は $E$ のほぼすべての要素で $E$ は1で、密度は $E$ にないほとんどすべての要素で $E$ は0です。

しかし、それぞれについては本当ですか $t$ 厳密には0と1の間にボレル集合があります $E$ 密度がある $t$ 0で?

のランダムな値に対してそのようなセットを構築する方法がわかりません $t$。どんな助けでもいただければ幸いです。

回答

2 tomasz Aug 17 2020 at 02:11

はい。次元で$\geq 2$ これは些細なことなので、実数直線を見ていると思います。

与えられた $n>0$ そして $\alpha\in [0,1]$、プット $U'_{n,\alpha}=(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$ そして $U_{n,\alpha}=U'_{n,\alpha}\cup -U'_{n,\alpha}$

プット $U_\alpha=\bigcup_{n\geq 1} U_{n,\alpha}$。次に、の密度$U_{n,\alpha}$$0$ 正確に $\alpha$。これを見るには、$m_r$ ために $\frac{\lambda(U_\alpha\cap (-r,r))}{2r}$ そして注意してください:

  • もし $r\in (\frac{1}{n+1},\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}))$、その後 $m_{\frac{1}{n+1}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • もし $r\in (\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),\frac{1}{n})$、その後 $m_{\frac{1}{n}}\leq m_r\leq m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$
  • $m_{\frac{1}{n}}=\alpha$
  • $m_{\frac{1}{n+1}+\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}\leq m_{\frac{1}{n+1}}+n\alpha(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\alpha+\frac{\alpha}{n+1}$
2 zhw. Aug 17 2020 at 02:01

ヒント:しましょう $I_n=(1/(n+1),1/n).$ しましょう $L_n$ の長さである $I_n.$ から $I_n$ サブインターバルを選択します

$$J_n = (1/(n+1),1/(n+1)+tL_n).$$

$J_n$ は「$t$-かみ傷」 $I_n.$ セットする $E=\cup J_n.$ 私がこの権利について考えているなら、私たちは

$$\lim_{r\to 0^+} \frac{m((0,r)\cap E)}{r} = t.$$

StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 01:26

一連の数字を考えてみましょう $r_n \searrow 0$ そのような $\frac{r_{n-1}}{r_n} \to 1$。しましょう$\theta$ からの測度保存マップである $(0,r_1]$$\mathbb R^2$ それはかかります $(\pi r_{n}^2,\pi r_{n-1}^2] \subset \mathbb R$$\{x \in \mathbb R^2: r_n < |x| \le r_{n-1}\}$。次に、$A$ の原点を中心とした「パイのかけら」である $\mathbb R^2$、角度付き $\alpha$コーナーで。次に$\theta^{-1}(A)$ 密度のあるセットになります $\alpha/(4\pi)$$0$

これは密度を与えます $0 \le t \le \frac12$。取得するため$\frac12 < t \le 1$、単に追加する $(-\infty,0]$