ボレル集合が $\mathbb{R}$ 開区間によって生成された単調族に等しい？
しましょう $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ のボレルサブセットを示します $\mathbb{R}$、そして $\mathcal{M}$ すべての開区間によって生成された単調クラスを示します $(a,b) \subset \mathbb{R}$。以来$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ またです $\sigma$-開区間によって生成されたフィールド、単調族の定理は、 $\mathcal{B}(\mathbb{R}) = \mathcal{M}$。
ボレル $\sigma$-フィールドには、のすべての開いているサブセットが含まれます $\mathbb{R}$、したがって、上記は次のことを意味します $\mathcal{M}$同様にする必要があります。しかし、なぜこれが次の定義から続くのか理解できません$\mathcal{M}$。たとえば、どうすれば書くことができますか$(0,1) \cup (1,2)$ 開いた間隔の増加するシーケンスの可算和集合として？
編集：明確にするために、私はその事実を理解しています $\mathcal{M}$ 可算単調交差の下で閉じられ、和集合はすべてが $A \in \mathcal{M}$ 可算単調共通部分または和集合として書くことができますが、上記のような集合が単調クラスでどのように発生するかについてはまだはっきりしていません。
別の言い方をすれば、どうすればそれを証明できますか $(0,1) \cup (1,2) \in \mathcal{M}$ 単調族の定理を使わずに？
編集：開区間は代数ではありません。たとえば、有限の和集合の下では閉じられないため、ここでは単調族の定理が正しく使用されていないと思います。
回答
あなたは混乱するのは非常に正しいです-ウィキペディアに記載されている結果は正しくありません。これはそこのトークページでほとんど気づかれています、そして定理の正しいステートメントについてはここを見てください。
問題は、次のようなものを得るために、有限集合の差を形成する機能も含める必要があるということです。$(0,1)\cup(1,2)$。これを確認するには、次の点に注意してください。
しましょう $\mathfrak{C}$のすべての凸部分集合のクラスである$\mathbb{R}$、つまり、すべて $A\subseteq\mathbb{R}$ いつでも $a,b\in A$ と $a<b$ 我々は持っています $[a,b]\subseteq\mathbb{R}$。次に$\mathfrak{C}$ すべての開区間を含み、可算増加ユニオンの下で閉じられ、可算減少交差の下で閉じられます。
一見すると、これが起こったと思います。「単調クラス」という用語は、一般に、可算増加組合と可算減少交差の下で閉じられた集合のクラスを指すために使用されます。ただし、少なくとも1つのソース（トークページを参照）は、「モノトーンクラス」を使用してDynkinシステムを参照しています。その後、記事はこれを混同します。
最後に、物事をまとめるために、 $\mathfrak{D}$は、各開区間を含むDynkinシステムです。それぞれについて$\epsilon<1$ 我々は持っています $$X_\epsilon:=(0,2)\setminus (1-\epsilon, 1+\epsilon)\in \mathfrak{D}.$$ 可算名詞の増加を考えてみましょう $$Y=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}X_{1\over n}.$$ この $Y$ 再び $\mathfrak{D}$、そして正確に $(0,1)\cup (1,2)$。
私はあなたがの定義を誤解したと思います $\mathcal M$。 $\mathcal M$は、増加および減少する和集合の下で閉じられ、すべての開いた区間を含むセットの最小クラスです。これは、その中のすべてのセットが、オープン間隔の可算増加和集合であることを意味するものではありません。実際、あなたのセットはこの形式で書くことはできません。