ボルツァーノワイエルシュトラスと複素解析関数の零点
私は教科書の練習に取り組んでいます。同様の質問：コンパクト領域の解析関数には有限の数のゼロがありますが、それは私には完全に明確ではなく、おそらく別のアプローチもありますか？基本的に同じ質問を証明したいのですが$f$ 内部および単純な閉じた輪郭上で分析的です $C$ （おそらく内部のポールを除いて $C$）、およびすべてのゼロの場合 $f$ 中にある $C$ 有限次数の場合、ゼロは有限数でなければなりません。
うまくいけば、以下の私の試みを検証または修正することができます。
私の試み：
そうでなければ仮定します。その後、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスによって、セット$S$ のすべてのゼロの $f$ （無限大）内部に集積点が含まれています $C$。それはそうだとしましょう$z_0$。この$z_0$ のゼロでもあります $f$ それは限界なので、ゼロのサブシーケンスは $S$ そして $f$分析的です（したがって、継続的でもあります）。仮定により、それは有限次数のゼロです、例えば$m$。
私はどんな近所でもそれを主張します $N$ の $z_0$、 $f$同一にゼロにすることはできません。これを見るには、$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ どこ $g$ ゼロ以外で分析的 $z_0$。したがって、これらのプロパティによって$g$、周りに近所があります $z_0$ （と交差する $N$） どこ $g$ゼロ以外です。ただし、この近隣には別の（異なる）ゼロが含まれています。$z'$、の $f$集積点の定義による。したがって、$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$、それを意味する $g$ この近隣ではゼロになる可能性があり、矛盾します。
今教科書の定理によって、以来 $f$ 分析的でゼロ $z_0$、ただし、のどの近隣でも同じようにゼロではありません $z_0$、の削除された近傍が存在する必要があります $z_0$ どこ $f$まったくゼロ以外です。しかし、繰り返しますが、この削除された近傍には、$f$、 いう $z''$、集積点の定義により、矛盾する $f$そこに同じように非ゼロである。QED。
だから私の質問は次のようになります：
上記は有効ですか？そうでない場合、どの部分を改善する必要がありますか？
他にアプローチはありますか？
通常はQ2の方が面白いですが、Q1も回答していただければ幸いです。どうもありがとう！
編集：いくつかのコメント入力の後に私がそれについて考えるようになりました：
私の最初の段落は大丈夫なはずです。
- 結論までの私の2番目の段落については、次のようにする必要があります。
なので $z_0$ 秩序がある $m$、 我々は書ける $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ どこ $g$ 分析的でゼロ以外 $z_0$。の連続性によって$g$ で非ゼロであること $z_0$、に近所があります $z_0$ どこ $g$まったくゼロ以外です。削除$z_0$ そこ、 $f$その場合、削除された近傍ではゼロ以外になります。しかし、これは次の事実と矛盾します$z_0$はゼロの累積点です。完了しましたか？
または
- 別の方法、私も言うことができます：どちらか $f$ どの近所でも同じようにゼロではありません $N$ の $z_0$ 、または $f$ 一部の地域では同じようにゼロです $N$ の $z_0$。前者については、私の最初の3番目の段落が続きます。後者の場合、一致の定理による$f$ 内部は同じようにゼロでなければなりません $C$。分析により、すべての次数の導関数はゼロであり、無限の次数を示します。完了しましたか？
回答
私は次のことを提案します：関数が $f$ 地域で分析的です $R$ 単純な閉じた輪郭の内側と上のすべての点で構成されます $C$、おそらく内部の極を除いて $C$、およびのすべてのゼロの場合 $f$ に $R$ インテリアです $C$とが有限次数である場合、それらのゼロの数は有限でなければなりません。次の条件を追加する必要があると思います$\;f\;$ の重要なオープンで接続されたサブセットでは、ゼロとまったく同じではありません。 $\;R\;$。これは私がまだ見つけることができない本（私はすでに1981年からこれについての論文を見つけました...）からのものであり、あなたが実際に望んでいるものに非常に近いもののようです。関数の上記の条件に注意してください$\;f\;$ 実際には、で囲まれた定義域で関数の有理型を言います $\;C\;$ 。
証明：無限のゼロがあると仮定します$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ の $\;f\;$ 内部 $\;C\;$。それからボルツァーノ・ワイエルシュトラスによって、$\;z_0\;$ オン $\;R\;$ st $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$。の連続性によって$\;f\;$ 、わかります $\;f(z_0)=0\;$ 、も。
のすべてのゼロを想定しているので $\;f\;$ オン $\;R\;$有限次数で孤立している、存在する$\;m\in\Bbb N\;$ st $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ 、いくつかのオープンな近所で $\;U\;$ の $\;z_0\;$ そしていくつかの有理型関数のために $\;g\;$ st $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$。の可能な極以来$\;f\;$ 内部 $\;C\;$ 孤立している、私たちは近所を取ることができます $\;V\;$ の $\;z_0\;$ の極がないところ $\;f\;$ 内部 $\;V\;$ 、および上記の関係を取る $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ に $\;U':=U\cap V\;$、そして今回は $\;g\;$非ゼロであると分析に$\;U'\;$ 。
したがって、分析関数の一致の定理によって、私たちはほぼ通り抜けています。 $\;f\;$ のいくつかの接続された近隣で同じようにゼロになります $\;z_0\;$ 、この点は集合の累積点であるため、 $\;f\;$ とゼロ関数は一致し、これは上記で追加されたさらなる条件と矛盾します。