部分積分式はありますか $\int f'g = - \int fg'$ 有界変動のコンパクトにサポートされた連続関数に当てはまりますか？

Question

と仮定する $f:\mathbb R \to \mathbb C$ 有界変動の連続関数であり、 $[-T,T]$。私達はことを知っています$f$ほとんどどこでも微分可能です。さらに、$g \in C^\infty(\mathbb R)$有界である。部分積分式はありますか$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ 当てはまりますか？

Answer 1

しましょう $T > 1$ そしてしましょう $f = \chi_{[0,1]}$ の特性関数である $[0,1]$。次に$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ 一方、 $f' = 0$ ae、 $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

理解できれば $f'$ 測定値の導関数として $Df$ BV関数の $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$、および $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ それは $-\int_{-T}^T f g'$。