楕円、放物線、双曲線のリーマン面：分類？
リーマン面のクラとファルカスの本では、次の（少し珍しい）定義が与えられています：
定義IV.3.2（セクションIV.3）。しましょう$M$リーマン面になります。電話します$M$ 楕円形の場合のみ$M$コンパクトです。電話します$M$ 放物線の場合のみ$M$ コンパクトではなく、 $M$非負の劣調和関数はありません。電話します$M$ 双曲線の場合に限り$M$ 負の非定数劣調和関数を実行します。
質問。放物線面と双曲線面を特徴付ける幾何学的な方法はありますか？たとえば、$M$ コンパクトなリーマン面であり、 $x_1,\ldots, x_n$その上にポイントがあります。表面ですか$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$ 放物線？
回答
これはやや珍しい用語ですが、開いたリーマン面の分類の理論では一般的です。より標準的な表記法は$P_G$ 「放物線」の場合、および $O_G$ 「誇張」のために。
表面 $M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$ この意味で、は「可除特異点定理」（点のパンクチャド近傍で上から有界である劣調和関数が完全近傍の劣調和関数に拡張される）によって放物線状になります。
特にフォームの表面にはいくつかの基準があります $M\backslash E$、 どこ $M$ コンパクトで $E$は閉じたサブセットです。しかし、これらの基準はあまり幾何学的ではありません。容量を使用します。いくつかの結果は、ハウスドルフ測度の観点から与えることができます。$E$ しかし、それらは「必要十分」ではありません。
古典的な結果は本で見つけることができます
辻正次、現代機能理論におけるポテンシャル理論、丸善、東京、1959年（AMSの再版があります）。
Ahlfors、Sario、Riemann面、Princeton UP、1960年。