代数多様体の投影にはいくつの穴がありますか？

Question

しましょう $V$ の閉じた部分多様体である $\mathbf{P}^n$。（代数的閉体で作業します。）定義$\pi:(\mathbf{P}^n\setminus P_0)\to \mathbf{P}^{n-1}$ 沿って $\pi(x_0:x_1:...:x_n) = (x_0:x_1,...:x_{n-1})$、 どこ $P_0$ ポイントです $(0,0,...,0,*)$ に $\mathbf{P}^n$。

だけなら $\pi$ すべてで定義されました $\mathbf{P}^n$、 $\pi(V)$ の閉じた部分多様体になります $\mathbf{P}^{n-1}$。そうではありません、そして$V$ の閉じた部分多様体である必要はありません $\mathbf{P}^{n-1}$。（簡単な例：$V:x_0^2 = x_1 x_2$。）まだそれを言うことができます $\pi(V)$ 含まれています $\overline{\pi(V)}\setminus W$、 どこ $W$ の正の余次元の閉じた部分多様体です $\overline{\pi(V)}$ と学位 $\leq \deg(V)$、 いう？どうやって？

Answer 1

爆破して射を取得する $\Pi: Bl_{P_0}\mathbf P^n \rightarrow \mathbf P^{n-1}$。しましょう$\widetilde{V}$ の適切な変換である $V$ に $Bl_{P_0}\mathbf P^n$。次に$\overline{\pi(V)}=\Pi(\widetilde{V})$。

今、私たちは書くことができます $\widetilde{V}=V \setminus \{P_0\} \ \cup \mathbf P(C_{P_O}V)$ どこ $C_{P_0}V$ の接錐です $V$ で $P_0$。

そう $\pi(V \setminus \{P_0\})$ （これはあなたの表記では $\pi(V)$）が含まれています $\Pi(\widetilde{V}) \setminus \Pi (\mathbf P(C_{P_O}V))$。

上記のように、 $\Pi(\widetilde{V})$ 等しい $\overline{\pi(V)}$。また、$\mathbf P(C_{P_O}V))$ 例外因子の閉集合です $E$、および $\Pi_{|E} \colon E \rightarrow \mathbf P^{n-1}$ 同型です。

だから私たちはそれを得る $\pi(V)$ （あなたの表記で）含まれています $\overline{\pi(V)} \setminus W$ どこ $W \subset \mathbf P^{n-1}$ の接錐の射影化と同型の閉集合です。 $V$ で $P_0$。

閉集合 $W$ 寸法があります $\operatorname{dim}(V)-1$。一方、$\pi(V)$ と同じ寸法です $V$ そうでなければ $V$ 頂点に含まれる円錐です $P_0$、しかしその場合 $\pi(V)$ 閉集合です。

程度については、 $\mathbf P(C_{P_O}V))$のサブスキームとして$E$ の多重度に等しい $V$ で $P_0$、したがって、上記の境界 $\operatorname{deg}(V)$。以来$W$はこのスキームの基礎となる閉サブセットであり（同型）、その次数はスキームの次数より大きくありません。だから私たちは持っています$\operatorname{deg}(W) \leq \operatorname{deg}(V)$ 要求に応じ。