代替証明要求： $C=\{x^2,x\in S\}$、それを示す $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$

Question

この質問には、非減少関数の連続性に依存する定理を使用した答えしかありません。私（私は思う）は答えを理解できますが、これと同じ演習を行いますが、まだ連続性を研究していません。実数を研究し、シーケンスを研究する準備をしています。おそらくこの答えを見たために、これを証明する唯一の方法は連続性も使用することですが、連続性に関するこれらの定理を使用しない方法が必要です。実数/上限/下限/その他のプロパティでのみこれを証明する方法を誰かに教えてもらえますか？

どんな助けでもいただければ幸いです。

Answer 1

ヒント

• 仮定します $S\subset [0,\infty )$。しましょう$c=\sup C$ そして $s=\sup(S)$。しましょう$\varepsilon >0$。有る$x\in C$ st $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$。それはすべてに当てはまるので$\varepsilon >0$、 私達 $c\leq s^2$。

• 仮定 $c<s^2$、すなわちあります $x\in S$ st $c<x^2\leq s^2$。これは、$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$。

したがって、 $c=s^2$ 望み通り。

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私はあなたに証明を適応させます $S\subset \mathbb R$ の代わりに $S\subset [0,\infty )$ のみ。