で微分可能性を検証する $x=0$
だから私が取り組んでいる問題のステートメントは
の不定積分を見つける $\exp(-|x|)$ に関して $x$。
以下に回答を提供しましたが、最後にいくつか質問があります。最初に自分の作品を見せた方が簡単だと思います（または、最後の段落に進んで直接質問にジャンプします）。
私の答え \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}
追加した $2$ 以来、グラフの右側に $x=0$、 \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}
削除する必要のある不連続性を視覚化するグラフを追加しました。厳密に言えば、不定積分が原点で微分可能であることを示す必要があるため、ここでは完了していません。したがって、私は導関数の定義を使用しようとしました。
\ begin {equation *} f '（x_0）= \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f（x_0 + h）-f（x_0）} {h} \ end {equation *}
しかし、これが正しいかどうかはよくわかりません。
左側の制限
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}
右側の制限
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}
これから追加するように見えます $2$差別化のこの証明に実際に違いはありませんでしたか？また、ロピタルの定理を限界証明として使用することについても気分が良くありませんが、他の方法で続行することはできなかったので、この状況で思いつくことができました。
回答
追加する $2$制限の計算に大いに役立ちます。左側の制限に大きく影響します。分子を見てください$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ ここ、左 $F$ 使用 $C_1$ と右 $F$ 使用 $C_2$、したがって、この分子は近づきません $0$ 追加しない限り、まったく $2$。
ロピタルを回避する方法については、それはあなたがどのように定義するかに依存します $\exp$。とにかく、あなたの左側の限界は実際にはの左側の導関数に等しいことに注意することができます$e^x$ で $x=0$（それを導関数の定義に挿入するだけで、同じことが得られることがわかります）。同様に、右側の制限は、の右側の導関数に等しくなります。$-e^{-x}$ で $x=0$。したがって、これら2つの導関数が何であるかをすでに知っている場合は、これで完了です。
あなたがそれを追加しない場合 $2$、あなたの関数はでさえ連続的ではありません $0$、したがって、その時点では微分可能ではありません。あなたがそれを入れないなら$0$、左導関数 $0$ になります$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$
左側の不定積分は
$$e^{x}+C_-$$ と右側
$$-e^{-x}+C_+.$$
ミーティングポイントで継続性を確保する必要があります（これは不定積分であるため）。 $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ 必要とされている。
今ポジティブのために $h$
$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ そして $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$そのため、RHSに制限が存在する場合、導関数が存在します。そして、それは負の指数の正しい導関数であるため、確かに存在します。
$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ 連続マップの合成であるため、は連続マップです。
したがって、その不定積分の導関数が存在することを確認する必要はありません。それは微積分の基本定理によって存在します。
平等
$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ あなたが書いたことは意味がありません。
不定積分は1であり、ゼロの左側と右側で違いはありません。
あなたが書くことができるのは
$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$
そして、ケースを分離します $x<0$ そして $x \ge 0$。