です $(4+\sqrt{5})$ の素イデアル $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$？

Question

整域を検討する $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$。です$(4+\sqrt{5})$ の素イデアル $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$？

私は次の基本的な事実を知っています。我々は[\右FRAC {1+ \ SQRT {5}} {2} \] \左{式} \ mathbb {Z}を開始= {\ FRAC {M + \ {\左N \ SQRT {5}} \ 2}：m、n \ in \ mathbb {Z} \ text {は両方とも偶数または両方とも奇数} \ right \}。\ end {equation}

すべてのための $\frac{m + n \sqrt{5}}{2} \in \mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$、通常どおりそのノルムを定義します：\ begin {equation} N \ left（\ frac {m + n \ sqrt {5}} {2} \ right）= \ frac {m ^ 2-5n ^ 2} {4}。\ end {equation}以来$m, n$両方が偶数または両方が奇数の場合、ノルムが整数であることが簡単にわかります。この事実から、次のことが簡単にわかります。$\frac{m + n \sqrt{5}}{2}$ の単位です $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ 場合に限り $m^2 - 5n^2=4$ または $m^2 - 5n^2=-4$。今から$N(4+\sqrt{5})=11$ 簡単にわかります $4+\sqrt{5}$ の既約元です $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$。場合$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ 独自の因数分解ドメインであったため、次のように結論付けることができます。 $(4+\sqrt{5})$ の素イデアル $\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$。しかし、私は知りません$\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$は一意の因数分解ドメインです。誰かがそれがそうであるかどうか知っていますか？

よろしくお願いします。

Answer 1

コール $A = \mathbb Z \left[ \frac{1 + \sqrt 5}2\right]$。私たちはそれを示すことができます$A / (4+\sqrt 5) \cong \mathbb Z/11 \mathbb Z$、そのため理想 $(4 + \sqrt 5)$ 最大です。

1. なので $N(4 + \sqrt 5) = 11$、要素が $0, 1, \ldots, 10$ ペアワイズ不一致モジュロです $4 + \sqrt 5$。

2. のすべての要素 $A$ を法とする整数に合同です $4 + \sqrt 5$：確かに、それが形式の場合 $a + b \sqrt 5$ と $a, b \in \mathbb Z$ の適切な整数倍を引くことができます $4 + \sqrt5$ 着陸する $\mathbb Z$。それが形式である場合$(a+b\sqrt5)/2$ と $a, b$ 奇妙なことに、差し引くことができます $$\frac{1 + \sqrt5}2 \cdot (4 + \sqrt5) = \frac{9 + 5\sqrt5}2$$ 着陸する $\mathbb Z + \mathbb Z\sqrt5$。

環準同型を考える $$\mathbb Z / (11) \to A / (4+\sqrt5) \,.$$最初の観察では、それは単射です。第二に、それは全射です。

Answer 2

数値フィールド $K=\Bbb Q(\sqrt{5})$ ミンコフスキー境界が満たすため、クラス番号1を持ちます $B_K<2$。したがって、その整数環$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z} \left[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ PIDであり、したがってUFDです。

一方で、それを見るだけで十分です $\mathcal{O}_K/(4+\sqrt{5})$ フィールドであるため、理想 $(4+\sqrt{5})$ 素数です。

Answer 3

はい、 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ であるためUFDです https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_domain#Norm-Euclidean_fields。