です $C^{*}$-代数はQFTを研究するための最も現代的な方法ですか？
私はQFTまたはQFTの専門家ではありません $C^{*}$-代数ですが、私はQFTの基礎を学ぼうとしています。私が知っているすべての本/論文やその他の資料では、QFTは主に多くの関数解析と分布理論を使用して研究されていますが、いくつかの代数的構造も使用されていることを知っています。$C^{*}$-代数は最も現代的なツールのようです。では、私のような経験の浅い学生は、QFTと統計力学へのこれらのアプローチについて何を知っておくべきでしょうか？の役割は何ですか$C^{*}$-それらの理論における代数および他の代数的方法？彼らがよりよく合う問題は何ですか？QFTを勉強したいのなら、学ぶ必要がありますか$C^{*}$-代数？代数的方法がうまく適合しないという問題はありますか？どちらのアプローチも実り多い問題はありますか？これらの代数的構造を知らないことによって何が失われますか？
追加：私は厳密な統計力学を扱っていますが、QFTを学ぼうとしています。なぜなら、これらはあるレベルで2つの関連する領域だからです。しかし、QFTについて何をどれだけ学ぶ必要があるのかはまだわかりません。私は機能分析と分布理論のバックグラウンドを持っていますが、$C^{*}$-代数。経験の浅い学生として、全体像、つまりQFTで解決しようとしている問題は何か、そしてこれらの各アプローチはどこで機能するのかを理解することは非常に役立ちます。これらのツールはそれぞれ、さまざまな種類の問題や理論のさまざまなサブエリアにさえ適用できると思いますが、確かなことはわかりません。
回答
私の博士課程の仕事ではC *-代数をかなり多用していたので、そこで専門知識を主張できると思いますが、私はQFTの専門家ではありません。それが私の答えの主な視点になります。
この議論の良い出発点は、作用素環論と量子力学の両方における基本的な結果であるストーンフォンノイマンの定理です。セットアップは基本的にハイゼンベルクの不確定性原理であり、位置を測定する操作は$x$ そして勢い $p$ 量子システムの通勤しない：
$$[x,p] = 2\pi i h$$
初期の歴史における量子力学に関する重要な数学的問題は、次のとおりでした。どのようなオブジェクトが$x$ そして $p$？物理学者は、ヒルベルト空間での自己隣接作用素であることを望んでいますが、有界作用素のペアがこの特性を持っていないことを厳密に証明できます。この結果は、リー代数の表現論に属します。基本的に、2つのジェネレーターを持つリー代数であり、上記の関係には、ヒルベルト空間上の有界エルミート作用素による表現はありません。
ストーンとフォンノイマンのアイデアは、リー代数ではなくリー群に焦点を当てることでした。上記の関係は、時間発展演算子間の次の関係の0での導関数です。$U(t)$ そして $V(s)$：
$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$
そのようなものによって生成されたリー群 $U$ そして $V$はハイゼンベルク群と呼ばれ、ストーン・フォン・ノイマンの定理は、この群がヒルベルト空間上でユニタリ等価（およびここでは取り上げないいくつかの形容詞）までの一意のユニタリ表現を持っていると主張しています。これは、理論のハイゼンベルグとシュレディンガーの絵を1組の公理に統合する基本的な量子力学の優れた基盤を提供します。
より複雑な量子システムを処理するには、おそらくより複雑な関係を満たすより多くの演算子に一般化する必要があります。この一般化の仕組みは次のとおりです。
- ローカルコンパクトグループから始めます $G$; 元のストーンフォンノイマンの定理については、$G = \mathbb{R}$。
- フーリエ変換が決定し、同型 $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$、 どこ $C^*(G)$ グループC *-代数であり、 $\hat{G}$ ポントリャーギン双子です。
- このような同型写像は、交差積代数のユニタリ表現と同等です。 $C_0(G) \rtimes G$。
- このC *-代数のすべての既約表現は、単一的に同等です。
これで、多くの粒子を含むシステムの量子力学ができました。しかし、QFTはどうですか？私が理解しているように、QFTが難しい基本的な理由は、ストーン・フォン・ノイマンの定理がもはや真実ではないということです。
通常の量子力学の場合、古典的な位相空間は有限次元の多様体です。たとえば、単一粒子の古典的な位相空間が $\mathbb{R}^3$ です $\mathbb{R}^6$。しかし、場の量子論における位相空間の古典的な類似物は、$\mathbb{R}^3$、これはある種の無限次元多様体です。これは、無限に多くの交換関係を持つ無限に多くの演算子と、対応する無限次元のリー群が、存在する範囲で、はるかに複雑な表現論を持っていることを意味します。
だから今、私はあなたの質問に答えることを試みることができます。作用素環論は、量子力学の優れたモデルを提供するために多かれ少なかれ発明されました。このモデルが持つ優れた特性、つまり、単一等価までの実現は1つしかないということは、QFTではもはや当てはまりません。したがって、QFTでの多くの作業の1つの（暗黙の）目標は、この状況に対処し、より良い基盤を探すことです。C *-代数がQFTについて考えるための最良の方法であるか、最も現代的な方法であるかはわかりませんが、おそらくそうではありませんが、学生が始めるのに適した場所は、ストーンフォンノイマンの定理をある程度の一般性で学ぶことです。 QFTの難しさの多くは、QFTがないことのせいです。
繰り返しになりますが、専門家ではない人からの暫定的な回答です。おそらく、数理物理学/作用素環論の本当のジェダイマスターである誰かがチャイムを鳴らします。
古典的なQMでは、ヒルベルト空間から始まります。 $H$、およびに作用する特殊なタイプの演算子を調べることにより、そこから構築します $H$（対称性の場合はユニタリー、観測量の場合はエルミート）。したがって、ある意味では、作用素環論は最初からそこにありますが、古典的なQMでは、基本エンティティは（量子）状態であり、二次エンティティはプロセス（演算子）であるかのように見えます。
しかし、その動きは、ある意味で、抽象的な演算子の代数から始まり、悪名高いゲルファントの双対性を使用して状態のセットをモデル化するという意味で、順序を逆にする方向に向かっていると言っても過言ではありません。私がスケッチしたのは、代数的場の量子論に関するスーパーマーケットのチャットです（ここで凝縮物を見つけることができます）。
理由を尋ねられるかもしれません：私にはわかりませんが、私には、州ではなくプロセスへの動きが理にかなっているようです
- 数学的に（たとえば、コンヌの非可換幾何学と接続します。ここでは、ゴーストの非可換空間上の関数の代数であるかのように、非可換代数を直接操作します）。代数は、ゴーストスペースのトポロジとジオメトリをキャプチャするのに十分であり、より抽象的な機械にも役立ちます
- 物理的に。QM / QFTは、システムが単独で存在する世界ではなく、プロセス/相互作用に関するものであるという認識が高まっています。1つのオプションを引用するには、たとえばRovelliのRelationalInterpretationを参照してください。
補遺：では、C *代数はQFTの最新ツールですか？答えは次のとおりです。どのQFTを念頭に置いていますか？たとえば、量子重力では、答えは間違いなくノーです。人々は、高次圏論から、すでに述べた非可換幾何学、そして...太陽の下でほとんど何でも、さらには少しでも、あらゆる種類のグッズで遊んでいます。