です $\sup_{n\in N} E[X_n] < \infty$？

Question

ここに問題があります：

{$X_n$}$_{n\geq0}$ RVの非負の減少シーケンスである、すなわち $X_n\leq X_{n-1}$、 $\forall n \geq1$、 そのような $P(0\leq X_0<\infty)=1$。

それは本当ですか $\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$？で、もし$E(X_0)<\infty?$

まあそれが本当なら $\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$、それから私たちは $\sup_{n\geq1}X_n=X_1$、そしてその場合、私たちはそれを言うことができます $\sup_{n\geq1}E(X_n)<\infty$ もし $E(X_0)<\infty$、単調収束定理による。したがって、最初の質問には「いいえ」、2番目の質問には「はい」と言います。

私は正しいですか？不等式です$\sup E(X_n)\leq E(\sup X_n)$ 一般的に単調シーケンスに当てはまりますか？

いつものように、助けてくれてありがとう。

Answer 1

$EX_n$ 減少しています。 $sup_{n\geq 1} EX_n=EX_1$ そう $sup_n EX_n<\infty$ iff $EX_1 <\infty$。だが$P(0\leq X_0 <\infty)=1$ それを意味するものではありません $EX_1 <\infty$ しかし、 $EX_0 <\infty$ その後 $EX_1<\infty$ あまりにも。