ディスクリートプロ。分布：二項
二項分布の場合、樹形図を使用するのではなく、イベントの結果がいくつ発生したかを知りたい場合は、選択または組み合わせを使用できます。たとえば、確率変数Xが、コインが3回投げられた後の頭の数を表し、確率を知りたいとします。一度出てくる頭の。
Pr（X = 1）= 3C1回...確率 成功時間の確率。失敗の。
1つの頭を選ぶ方法は3つあることがわかっているからです。樹形図から：HNN、NNH、NHN。H =ヘッド、N =ヘッドなし。
私の質問は、順序が重要なものに組み合わせを使用しないことが明らかなのに、なぜ組み合わせを使用するのが正しいのかということです。ここでは、これらのHNN、NNH、NHNはすべて、1つのヘッドと2つのヘッドの同じ要素を含む異なるものであるため、順序が重要であることは明らかです。代わりに順列を使用できないのはなぜですか？
回答
順列は、個別のオブジェクトの配置をカウントします。シーケンスの長さが2より大きい場合、ヘッドとテールのシーケンスの要素を区別することはできません。
たとえば、5つの異なる文字を持つCOUNTという単語の文字の順列の数は次のとおりです。 $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = P(5, 5)$$ COUNTという単語の文字の3文字の順列の数は次のとおりです。 $$5 \cdot 4 \cdot 3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5 - 3)!} = P(5, 2)$$
一方、DISTRIBUTIONという単語の文字の識別可能な順列の数は、すべての文字が区別されるわけではありませんが、 $$\binom{12}{3}\binom{9}{2}7! = \frac{12!}{3!9!} \cdot \frac{9!}{2!7!} \cdot 7! = \frac{12!}{3!2!}$$Isの12の位置のうち3つ、Tの残りの7つの位置のうち2つを選択し、残りの7つの位置に7つの異なる文字D、S、R、B、U、O、Nを配置する必要があるためです。の因数$3!$分母は、与えられたアレンジメントと区別できるアレンジメントを生成せずに、与えられたアレンジメント内でそれらの間でIsを並べ替えることができる方法の数を表します。の因数$2!$ 分母のは、与えられた配置と区別できる配置を生成せずに、与えられた配置内でTをそれらの間で並べ替えることができる方法の数を表します。
あなたの例では、頭と尾のシーケンスは頭の位置を選択することによって完全に決定されるため、組み合わせを使用します。シーケンスの残りの位置は尾で埋める必要があるためです。
一般に、二項分布の問題では、結果の1つを成功と定義し、他の結果を失敗と定義します。正確に取得する確率$k$ での成功 $n$ それぞれ確率のある試行 $p$ 成功の $$\Pr(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$$ どこ $p^k$ の確率は $k$ 成功、 $(1 - p)^{n - k}$ の確率は $n - k$ 失敗、そして $\binom{n}{k}$ それらの方法の数を数えます $k$ 成功はで発生する可能性があります $n$裁判。どちらを選択するかに注意してください$k$ の $n$ 試行は成功であり、正確にある場合は結果を完全に決定します $k$ 残り以来の成功 $n - k$ 試行は失敗につながる必要があります。