どうすればその事実を説明できますか $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$？[複製]

Question

次のプロパティの条件付き期待値が成り立つことはわかっています。 $\mathbb E[|X|]<\infty$：

$\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$

誰かが私にこれについていくつかの直感を与えることができますか？なぜ再び期待値をとるとき、確率変数Yを知っていてもXの期待値に影響を与えないのはなぜですか。

Answer 1

直感（つまり、厳密さと確率空間を一瞬忘れて、概念の精神的な漫画の絵を作成することを意味します）は、実際には非常に簡単です。

方程式のLHSの内部 $\mathbb E\left( {\mathbb E\left( {X|Y} \right)} \right) = \mathbb E(X)$ 我々は気づく $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)},$ 確率変数の期待値を条件付ける $X$ 確率変数の値について $Y.$ など、 $ {\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ は実際には確率変数であり、 $Y.$ 数値ではなく、可測関数です ${\mathbb E\left( {X|Y} \right)}:Y \to \mathbb R.$ のドメインをスライドすると $Y,$ の期待 $X$ それらが依存しているという条件で、変更。

しかし、この表現 $\color{blue}{\mathbb E\left( {X|Y} \right)}$ さらにオペレーター内に囲まれています $ {\mathbb E\left( \cdot \right)},$ つまり、のすべての値にわたって期待値（加重平均値）を実際に探しているということです。 $Y.$ そうすることで、私たちは本質的に統合し、 $Y$ 無関係。

絵画的に、

繰り返しますが、直感です！

Answer 2

これらの図があなたに役立つかどうかはわかりません。コンディショニングは、サンプル空間に透明性を持たせることと考えると便利だと思います。

しましょう $X_1, X_2$2つの公正で独立したコインフリップになります。頭の結果を$0$ とテールの結果 $1$。しましょう$S = X_1 + X_2$。サンプルスペース$\Omega$ 4つのポイントがあります： $\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\} = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4\}$、：

まず、内部の条件付き期待値を検討します。 $Z = E[S | X_2]$。ご了承ください$Z$ は確率変数です：それぞれに対して $\omega \in \Omega$、 $Z(\omega)$は実数です。それは単にそれです$Z(\omega)$ セットで一定です $X_2^{-1}(\{0\}) = \{(0,0), (1,0)\} = \{\omega_1, \omega_3\}$ そして $X_2^{-1}(\{1\}) = \{(0,1),(1,1)\} = \{\omega_2, \omega_4\}.$ ダイアグラム形式では、

の定数値は何ですか $Z$ いつ $X_2 = 0$？の条件付き確率です$S$ 与えられた $X_2 = 0$、これは $\omega$セット内の $\{\omega : X_2(\omega) = 0\}$： $$E[S | X_2](\omega_1) = E[S|X_2](\omega_3) = 0.5.$$ 同様に、 $$E[S | X_2](\omega_2) = E[S|X_2](\omega_4) = 1.5.$$

今、あなたがするときに何が起こるか $E[E[S|X_2]]$？あなたは再び平均します。ルール$E[E[S|X_2]] = E[S]$ 「部分平均の平均は完全平均です」と（大まかに）読むことができます。