どのタイプの確率過程が満たすか $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ すべてのために $t,s \in \mathbb R^+$？

Question

しましょう $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ 豆 $L^2$確率過程。それは何について言っていますか$X$ もし $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ すべてのために $t,s \in \mathbb R^+$？それは何について言っていますか$X$ もし $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ すべてのために $t,s \in \mathbb R^+$ ？

上記のいずれかを満たす特別なクラスのプロセスはありますか？

今、私たちは同じ質問を繰り返しますが、私たちはそれを仮定します $X$ガウス過程です。私たちは何か新しいことを学びますか？

Answer 1

と $s=t$ 状態は $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ どの力、それ $Var(X_s)=1$ すべてのために $s$。したがって $$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ これは、 $X_s$ そして $X_t$ です $1$ すべてのために $s$ そして $t$、 したがって $X_t$ ほぼ確実にの線形関数です $X_s$、 あれは $$X_t = aX_s + b$$ いくつかのための $a$ そして $b$。共分散条件から明らかなことは、$a=1$ 見ることができます $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$。したがって、私たちは書くかもしれません $$X_t = X_0 + f(t),$$ どこ $f(t)$ 決定論的関数です $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$。また、次のように定義されたプロセス$X_t := X_0 + f(t)$ と $Var(X_0)=1$ そして $f$ いくつかの任意の関数は、与えられた条件を満たすでしょう。