どのようにdet（A）= 0は、解が一意ではないことを意味しますか？[複製]
Dec 31 2020
行列方程式Ax = bの解、ここで $$ A=\left(\begin{matrix} a_1&a_2&\dots&a_n \end{matrix}\right), \ a_i \in \mathbb{R}^n,$$
ベクトルの場合、一意ではありません $$ a_1, \ a_2, \dots, \ a_n $$線形従属です。次に、行列式のプロパティによって、$$ \det A=0. $$ただし、det A = 0の場合、Aの列ベクトルは線形従属であるということは常に続きますか？誰かが証拠を提示できますか？
回答
StinkingBishop Dec 31 2020 at 19:40
1つの可能な証拠：
- 列が線形独立であると仮定します。
- 行列を列階段形に変換します。最後の列から始めて、逆方向に進みます。
- 線形独立列の数は、最終的にゼロ以外の列の数になることを知っています。ただし、列が独立していると想定しているため、ゼロ列はありません。
- つまり、対角線上にすべての非ゼロ要素がある三角行列になりました。その行列式はゼロ以外です。
- ただし、行列を行/列の階段形に変換するときに使用する基本変換では、対角線のプロパティがゼロまたは非ゼロに変更されることはありません。
- したがって、行列式はそもそもゼロ以外でした。
orangeskid Dec 31 2020 at 21:00
最初の列がすべての場合 $0$、クリア。それ以外の場合は、最初の要素を持つ行を検討してください$\ne 0$。最初の行になるように並べ替えます。行列式はまだです$0$、システムは前と同等です。次に、最初の行より下の最初の列のすべての要素を減らします。まだ行列式$0$、システムはまだ同等です。次に、最初の行と列を削除して形成された行列を見てください。行列式は$0$。誘導を適用し、ゼロ以外の解を見つけます$(x_2, \ldots, x_n)$。ここで、元の最初の方程式を使用して$x_1$。これで、システム全体に対するゼロ以外のソリューションが得られました。