$\ell$-有限体のadic表現
私は最近、「理論の $p$-フォンテーヌとオウヤンによって書かれた「adicGaloisRepresentations」（この本へのリンクは次のとおりです。 http://staff.ustc.edu.cn/~yiouyang/galoisrep.pdf）
しましょう $K:=\mathbb{F}_q$ 標数の有限体である $p$ と $q$要素。代数的閉包を修正する$\overline{K}$ の $K$、およびのガロア群を示します $\overline{K}/K$ 沿って $G_K$。幾何学的フロベニウス$\tau_K:\overline{K}\rightarrow \overline{K}$ の $G_K$ です $x\mapsto x^{1/q}$。場合$\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ は有限次元の連続です $\ell$-adic表現（これは $V$ は有限次元です $\mathbb{Q}_{\ell}$-ベクトル空間）、私たちは書く $u:=\rho(\tau_K)$。次に、次の命題があります。
命題。（本のPrososition 1.10）の固有値$u$ すべてが入っています $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$。逆に、$u\in \text{GL}(V)$、連続準同型が存在します $\rho:G_K\rightarrow \text{GL}(V)$ そのような $u=\rho(\tau_K)$ のすべての固有値が $u$ にあります $\mathbb{Z}_{\ell}^{\times}$。
これを証明する方法はわかりませんが、著者は簡単だと言っています。
重要なのは要素の決め方だと思います $\rho(\tau_K^n)$ ために $n\in \widehat{\mathbb{Z}}$。本の中で、彼らは書いています$\rho(\tau_K^n)=\lim_{m\in \mathbb{Z}, m\mapsto n}u^m$、しかし、制限が何を意味するのか理解できません。
回答
それは命題が言っていることではありません。固有値は単位であると書かれています。彼らは嘘をつく必要はありません$\mathbb{Q}_l$。
ここにヒントがあります。可逆行列の場合$M$ に作用する $V$単位ではない固有値を持っている場合、おそらく反転した後$M$、固有値があると仮定することができます $\lambda$ と $|\lambda| > 1$。しかしその後$M^{n}$ 大用 $n$ 固有値があります $\lambda^n$ どこ $|\lambda^n|$ どんどん大きくなっています。
今、あなたは理解する必要があります（の構造を考えると $\widehat{\mathbb{Z}}$）なぜ連続性 $G_K \rightarrow \mathrm{GL}(V)$ いくつかの大きな積分があることを意味します $n$ そのような $M^n$ そして $M^0 = I$ 線形写像が必要なだけ近くにあり、これによりの固有値が排除されます $M^n$ 大きいこと。