$f$ 継続的な場合 $G(f)$ 距離空間の閉集合です[重複]

Question

のグラフ $f$ です $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ そして $Y$ 距離空間です。 $Y$ コンパクトです。

$f$ 継続的な場合 $G(f)$ 閉集合です。

私はここで最も近い答えを得ましたが、私は最初にそれを自分で試し、ある時点で立ち往生しました、そして私は他のどこにも得られなかったその特定の状況で助けが必要です/

$\Rightarrow$ パート：しましょう $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ の収束シーケンスである $G(f)$。場合$(x,y)$その限界です。私たちはそれを示さなければなりません$y=f(x)$ 言い換えると $(x,y)\in G_f$。

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[の継続性によって $f$。] $\Rightarrow f(x)=y$限界の独自性によって。したがって、$G_f$ 閉じています。

$\Leftarrow$ パート：しましょう $x\in X$ そして $(x_n)$ 限界のある収束シーケンス $x$。あなたはそれを証明しなければなりません$(f(x_n))$ に収束しています $Y$ 制限付き $f(x)$。私はシーケンスを使用しました$z_n=(x_n,f(x_n))$ そして $G_f$ コンパクトな空間に閉じこめられています $Y$ それゆえ $G_f$コンパクトです。次に、サブシーケンスがあります$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$。その後、$y=f(x)$ しかし、どうすればそれを証明できますか $f(x_n) \to f(x)$？のすべてのサブシーケンスが$f(x_n)$ に収束するサブシーケンスがあります $f(x)$。

Answer 1

コメントから、私はこの補題から来る私の答えを得ました：

補題レット$Y$ コンパクトな距離空間であり、 $(y_n)$ 用語が属するシーケンス $Y$。のすべての収束部分列の場合$(y_n)$同じ限界に収束する$\ell\in Y$、その後 $(y_n)$ に収束します $\ell$。

証明反対のことを仮定します。次に、$\epsilon>0$、 そのような ：

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

これにより、サブシーケンスを構築できます $(y_{n_k})$ そのような ：

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

今から抽出します $(y_{n_k})$ 収束部分列：その限界 $\ell$ 仮説から、したがって、 $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ..。

矛盾！

今、誰かがこの答えを閉じることができますが、私はそれを私の記録の下に保つことができ、誰かがこのように進むかどうか。彼らはそれから助けを得るでしょう。私は私たちの頭に浮かぶことができる明白な方法の1つをチェックしていたので質問をしました。どうもありがとう！