$f$ 二次導関数があります $f'' < 0$ $\implies$ $f$ 一次導関数が減少している $\implies$ $\frac{f(x)}{x}$ のために減少しています $x > 0$。

Aug 22 2020

私は現在、次の問題に取り組んでおり、私の仕事に関していくつか質問がありました。

もし $f$ 二次導関数があります $f'' < 0$ $\implies$ $f$一次導関数が減少しています。これが意味することを示す$\frac{f(x)}{x}$ のために減少しています $x > 0$。

これまでの私の仕事：

しましょう $g(x) = \frac{f(x)}{x}$、にとって $x >0$。質問によると、私たちはそれを持っています$f''<0$ その後 $f$ 一次導関数が減少している、つまり $f'$減少しています。さて、の導関数を取る$g$ 収量： $g'(x) = \frac{xf'(x) - f(x)}{x^{2}}$ $=$ $\frac{f'(x)}{x} - \frac{f(x)}{x^{2}}$、どこ $x >0$。

そんなこと知ってる $ - \frac{f(x)}{x^{2}}$ 減少していますが、どうすれば確実にそれを知ることができますか $\frac{f'(x)}{x}$ 減少しているので、それを推測することができます $g'(x) <0$、 $\forall x >0$ そしてそれ $g(x)$ 減少関数は何ですか？

備考：私を本当に混乱させたのは、なぜ私たちが言うことができるのかということだと思います$\frac{f'(x)}{x}$減少していますか？これは単に理由です$f'(x)$減少していますか？これが事実なら、なぜですか？$f'(x)$ そして $\frac{f'(x)}{x}$ 2つの異なる機能です。

文脈上、この質問は問題から引き出されました。 $f: [0, \infty) \to [0, \infty)$ 増加し、満足する $f(0) = 0$ そして $f(x) > 0$ $\forall x >0$。場合$f$ も満たす $f(x+y) \leq f(x) + f(y)$ $\forall x,y \geq 0$、その後 $f \circ d$ 常にメトリックです $d$メートル法です。次の各条件を表示するだけで、次のことを確認できます。$f(x+y) \leq f(x) +f(y)$ $\forall x,y \geq 0$：

$a)$ $f$ 満足する二次導関数を持っています $f'' \leq 0$;

$b)$ $f$ 一次導関数が減少しています。

$c)$ $\frac{f(x)}{x}$ のために減少しています $x > 0$。

この主張を証明するために、私はそれを示す方が簡単だろうと考えました $a)$ $\implies$ $b)$ $\implies$ $c)$; したがって、私の質問が生じた場所。

回答

4 angryavian Aug 23 2020 at 01:38

幾何学的な直感： $f(x)/x$ を結ぶ線の傾きです $(x,f(x))$原点へ。これは、元の主張の簡単な反例につながります。$f(x) = -(x-2)^2$ 我々は持っています $f(1)/1 = -1$ そして $f(2)/2 = 0$。

ただし、追加された条件で主張は真実です$f(0)=0$。の凹面$f$ （によって与えられた $f'' < 0$）次に、この勾配が次のように減少することを意味します $x$ 増加します。

しましょう $0<x<y$。見せれば$$\frac{f(x)}{x} \ge \frac{f(y)-f(x)}{y-x},\tag{$*$}$$ その後、私たちは持っています $$f(y) = f(x) + \frac{f(y)-f(x)}{y-x} (y-x) \le f(x) + \frac{f(x)}{x} (y-x) = y \frac{f(x)}{x}$$それが私たちが望むものです。証明する（$*$）、平均値の定理が意味することに注意してください $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(a)$ いくつかのための $0 \le a \le x$ そして $\frac{f(y)-f(x)}{y-x} = f'(b)$ いくつかのための $x \le b \le y$。その事実を使用して$f'$ 減少している、私たちは持っています $f'(a) \ge f'(x) \ge f'(b)$ これは証明します（$*$）。