フーリエ表現の独自性

Question

フーリエ解析について読み始めました。フーリエ表現の独自性について読んでいたところです。どうやらフーリエ級数なら$\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}$ に一様収束する $f(x)$ 次に、の値 $c_n$ 値になることを余儀なくされます $\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 \pi n x}dx$。これは当たり前のように言われていますが、理由がわかりません。一様収束がどのように機能するのかわかりません。

Answer 1

一様収束は、 $$\int_0^1 e^{-2i\pi kx}\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int_0^1 e^{-2i\pi kx}c_n e^{2\pi i n x}dx = c_k$$