不可欠なアイデンティティ
$\newcommand\la\lambda\newcommand\w{\mathfrak w}\newcommand\R{\mathbb R}$数値計算およびその他の考慮事項（iid指数変数の平均の最小値）は、
$$\int_\R \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}$$ にとって $u\in(0,1)$、主値の意味で理解される積分で。しかし、Mathematicaの助けを借りても、これを証明することはできませんでした。
これはどのように証明できますか？
回答
複素平面の上半分の輪郭を閉じると、主値が取得されます $i\pi$ 残留物の倍$^\ast$ で $t=0$、これは $u/(1-u)$。他の極はありません。$^{\ast\ast}$
$^\ast$ $\frac{1-e^{i t u}}{e^{i t u}-i t-1}=\frac{u}{1-u}+{\cal O}(t^2).$
$^{\ast\ast}$ 極は $t=i\tau$ と $e^{-\tau u}+\tau=1$ （除く $\tau=0$、分子によってキャンセルされます）; これらは$\tau<0$ すべてのために $u\in(0,1)$、近づいています $-2(1-u)$ にとって $u\rightarrow 1$。
コメントでは、数値評価に問題がありました。このタイプの主値積分は、置き換えることでより正確に評価できます。$1/t$ 沿って $\frac{d\log |t|}{dt}$部分統合を実行します。これは与える$$\int_{-\infty}^\infty dt\,\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{1}t= -2i\Im\int_{0}^\infty dt\,\ln|t|\frac{d}{dt}\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}.$$ 場合のために $u=1/2$ コメントで考慮されているように、Mathematicaは3.1406を与えます。
$\newcommand\eps\varepsilon$ それを示したいのです $R\to\infty$ そして $\eps\to 0+$、 我々は持っています $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)} \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ 同等に、 $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\left(\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}+1\right)\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ 言い換えると、 $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\pi\,\frac u{u-1}+o(1).$$ 被積分関数は、を含む開集合で正則です。 $\{t\in\mathbb{C}:\text{$\ Im（t）\ geq 0$ and $t \ neq 0$}\}$したがって、コーシーの定理により、それを示すだけで十分です。 $$\int_{\gamma(R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=-\pi+o(1)\qquad\text{and}\qquad \int_{\gamma(\eps)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\frac{\pi}{u-1}+o(1),$$ どこ $\gamma(r)$ の半円です $\{t\in\mathbb{C}:\Im(t)\geq 0\}$ から行く $r$ に $-r$。大用$r$、上の被積分関数 $\gamma(r)$ です $i/t+O(1/t^2)$。小さい場合$r$、上の被積分関数 $\gamma(r)$ です $-i/(t(u-1))+O_u(1)$。結果は次のとおりです。
これは、被積分関数の極に関するCarloBeenakkerの主張を詳しく説明するためのものです。仮定$t=x+iy$ そのようなポールです、ここで $x$ そして $y$本物です。次に$$1-y=e^{-uy}\cos ux,\quad x=e^{-uy}\sin ux.$$ 仮定 $y>0$。場合$x=0$ その後 $1-y=e^{-uy}\ge1-uy$、 そのため $(u-1)y\ge0$、条件と矛盾します $y>0$ そして $u\in(0,1)$。そう、$x\ne0$ それゆえ $$\frac{\sin ux}{ux}=\frac{e^{uy}}u>1,$$ これは不平等と矛盾します $\frac{\sin v}{v}\le1$ すべての本物のために $v\ne0$。
そう、 $y\le0$。
今なら $y=0$ その後 $1=\cos ux$ それゆえ $x=\sin ux=0$。
したがって、唯一の極 $x+iy$ と $y\ge0$ です $0$。