双子素数のセットを他のセットと比較します。最大値と最小値があるのはなぜですか？
私は2つのセットを取りました：最初は双子のペアの最初の素数の連続したリストです。2つ目は、1、1 + 2、1 + 2 + 3、1 + 2 + 3 + 4、1 + 2 + 3 + 4 + 5 ...のような番号の連続リストです。
次に、2番目のリストの番号を最初のリストの番号で割ってリストを比較しました。安定した分布の成長率が発生しています（下の写真を参照）。
（下の写真に見られるように）データを分析すると、次のことに気付くでしょう。
列Eの変動が大きすぎる場合（通常は1.1を超える場合）、「次の」ツインペアは「current：」ペアよりも小さくする必要があるため、エラーが発生します。
また、列Eの変動が小さすぎることはありません（おそらく最初の数百の後は0.99以上）。
列Cを2乗1、4、9、16、…または任意の2次多項式に置き換えると、同じ現象が発生します。
列Cを1に等しい定数に置き換える場合、最大値が1を超えることはありません（明らかに）。ただし、最初の数百の後、最小値はおそらく0.99以上になります。
なぜそうなるのかについて、理論的な説明を誰かに教えてもらえますか？
列Cの最初の100,000のリスト：1、1 + 2、1 + 2 + 3、1 + 2 + 3 + 4...。
列Cの最初の100,000のリスト：正方形1,4,9,16,25 .. ..
列Cの最初の100,000のリスト：定数= 1
ありがとう。
回答
この計算のもつれの動機は何ですか？
しましょう $B_2=3,B_3=5,\cdots $「双子素数ペアの最初のメンバー」のシーケンスになります。何らかの理由でインデックスから開始$2.$ これが無限のシーケンスであることはわかりませんが、 $B_n \approx k n (\ln n)^2$ 一定の定数 $k.$ に推測があります $k$しかし、それはここではほとんど問題ではありません。したがって、もっともらしい説明のために、私たちはそれを言うことができます$\frac{B_n}{B_{n-1}}$ 間違いなくより大きい $1$しかし、安定した平均的なペースでそれに近づいています。おそらくと$1<\frac{B_n}{B_{n-1}}<\frac{n+8}{n-1}.$ または、特に無謀であるために、 $\frac{B_n}{B_{n-1}} \approx \frac{n}{n-1}.$
数字 $E_n$ あなたが分析しているのは正確に $\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}$ だから彼らが時々上にある理由についてあなたの説明があります $1$ そして時々以下に収束して $1.$
余談：最初の数ペアの後、シーケンスのすべてのメンバーは $11,17$ または $29 \bmod 30.$おそらく、これは少し不器用になります。知りません。あなたはオーバー対アンダーかどうかをチェックするかもしれません$1$ 行動は合同クラスと相関します $\bmod 30$ であること $11$ vs $17$ または $29.$ もしそうなら、この行動は継続するか、消滅するように見えますか？
シーケンス $C_1=1,C_2=3,\cdots $ 三角数の $C_n=\frac{n(n+1)}2$ そう $\frac{C_{n-1}}{C_{n}}=\frac{n-1}{n+1}$ 丁度。
あなたが定義する $D_n=\frac{C_n}{B_n}$ そして、 $n \ge 3,$ $$E_n=\frac{D_n}{D_{n-1}}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{C_{n-1}}{C_n}=\frac{B_n}{B_{n-1}}\frac{n-1}{n+1}\approx\frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n+1} \rightarrow 1$$
双子素数の代わりに素数を使用した場合、 $p_n \approx n\ln n,$結果はほぼ同じで、途切れが少ない可能性があります。三角数の代わりに正方形を使用した場合$\frac{(n-1)^2}{n^2}\approx \frac{n-2}{n}$ これは非常に近いです $\frac{n-1}{n+1}$
前の列の連続する項を追加するか、比率を取得するさらなるステップにより、1つに収束するか、次のように成長するシーケンスが得られます。 $n.$