フェルマーの最終定理 $\pm1$

Nov 27 2020

私は整数についてCodeGolf.SEに挑戦することを計画しています$a, b, c \ge 0$ そのような

$$a^n + b^n = c^n \pm 1$$

与えられた整数に対して $n > 2$。しかし、私はこれに対する重要な解決策が与えられたものに存在するかどうかに興味があります$n$。ここでは、「重要な」ソリューションをトリプルとして定義しています。$a, b, c$ このような3つはすべて一意であり、ゼロではありません(つまり、回避するため $(a, 1, a)$ そして $(a, 0, a)$、および関連するトリプル)。

私は、そのようなトリプルの存在について関連する(そしてより広い)質問をするこの質問を見つけました、そして受け入れられた答えは述べています

私はそう思います $n\ge5$ (そしてABCD予想を仮定して)そして $k$、 方程式 $$ a^n + b^n - c^n = k $$ 限られた数のソリューションしかありません $a,b,c\in\mathbb{Z}$$|a|,|b|,|c|$ 明確でゼロ以外。

ただし、これは、ゼロ以外の数の個別のゼロ以外のソリューションがあるかどうかを完全に示しているわけではありません。

これは、そのようなトリプルを見つけようとするプログラムです。$0 \le a, b, c \le 100$、入力が与えられた $n$、しかしこれまでのところ、どちらにも何も見つかりませんでした $n = 4$ または $n = 5$、上限を大幅に上げるとタイムアウトになります。

したがって、私の質問は次のとおりです。

  • すべての整数について、それを示すことができますか? $n > 2$、 方程式 $a^n + b^n = c^n \pm 1$ 少なくとも1つの重要な解決策があります。 $a, b, c \ge 0$
  • そうでない場合は、範囲を拡大しますか $a, b, c$$\mathbb{Z}$ これに影響を与えるか、変更しますか?

回答

14 RobertIsrael Nov 27 2020 at 02:46

[編集済み]解決策がまったくない可能性があります $n \ge 4$。にとって$n \ge 5$解決策は、ランダー、パーキン、セルフリッジの予想に対する反例です。私が知っている最高のFLT「ニアミス」は$13^5 + 16^5 = 17^5 + 12$

5 Zhi-WeiSun Nov 29 2020 at 07:03

2015年9月26日に数論リストに送られた「フェルマーの最終定理に関連する予想」というメッセージの中で、私は次のように書いた。

1936年にK.マーラーはそれを発見しました $$(9t^3+1)^3 + (9t^4)^3 - (9t^4+3t)^3 = 1.$$ 明らかに、 $$|1^n+1^n-2^n| = 2^n-2\ \mbox{for every}\ n = 4,5,6,\ldots$$ そして $$13^5+16^5-17^5 = 371293+1048576-1419857 = 12 < 2^5-2.$$

ここでは、フェルマーの最終定理のさらなる改良と見なすことができる私の次の予想を報告します。

予想(2015年9月24〜25日)。(i)任意の整数の場合$n > 3$ そして $x,y,z > 0$$\{x,y\}\not= \{1,z\}$、 我々は持っています $$|x^n+y^n-z^n|\ge2^n-2,$$

そうでなければ $n = 5$$\{x,y\} = \{13,16\}$ そして $z = 17$

(ii)任意の整数の場合 $n > 3$ そして $x,y,z > 0$$z\not\in\{x,y\}$、素数があります $p$$$x^n+y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n+y^n, $$

そうでなければ $n = 5$$\{x,y\} = \{13,16\}$ そして $z = 17$

(iii)任意の整数の場合 $n > 3$$x > y \ge0$ そして $z > 0$$x\not=z$、常に素数が存在します $p$
$$x^n-y^n < p < z^n\ \ \mbox{or}\ \ z^n < p < x^n-y^n. $$

私はMathematicaを介してこの新しい予想をチェックしました。例えば、私は予想のパート(i)を検証しました$n = 4,\ldots,10$ そして $x,y,z=1,\ldots,1700$