外部均一電場における帯電伝導球のラプラス方程式

Question

私は、「電気力学入門、グリフィス」の問題3.21を解決しようとしています。

他の点では均一な電界に置かれた、電荷Qおよび半径Rの帯電した金属球の外側の電位を見つけます $\mathbf E_0$。

電界がz軸に沿って作用するように座標系を方向付けましょう。

• BC 1：球は導電性であるため、 $V(R, \theta)=0$。
• BC 2：として $r \rightarrow \infty$、 $V \rightarrow -E_0r \cos \theta- \frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$

球面座標の方位角対称の場合のラプラス方程式の解は次の式で与えられることに注意してください。

$$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{(A_l r^l+\frac{B_l}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$

私は現在、2つの境界条件を一緒に機能させることに固執しています。私が得るのは、係数がどうあるべきかという制限形式であり、非互換性さえあります。

BC 1の適用： $$V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}{A_l( r^l-\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}})P_l\cos(\theta)}$$

しかし、明らかにかなり大きい場合 $r$、 $\frac{R^{2l+1}}{r^{l+1}}$ 項が消え、2番目の境界条件の次のようにスケーリングする部分を使用できなくなります。 $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$、これは驚くべきことではありませんが、問題は、2番目の境界条件が最初の境界条件と互換性がないことです。 $\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ そして $-E_0r \cos \theta$ BC1を最初に適用したときに必要なフォームに適合しない用語。

この非互換性の問題を誰かが明確にしてください（実際には別の方法を使用して問題を解決するわけではありませんが、この方法のどこが間違っているのかを理解しようとしています）。

Answer 1

紀元前 $2$間違っている。大用$r$、電荷によるフィールド $Q$ 球上はごくわずかで、残っているのはユニフォームだけです $\mathbf{E_0}$。ですから、無限大の状態は実際には$\mathbf{E}(r\rightarrow\infty,\theta)\rightarrow\mathbf{E_0}$。これを可能性に変換します。ヒント：課してみてください$V(r\rightarrow\infty,\theta)=-E_0r\cos\theta+C$ （定数を忘れないでください $C$）BCを適用した後に得られた結果に $1$。これが意味することがわかります$A_{l\ge2}=0$、およびを決定することができます $A_1$。

最後に、結果は $A_0$ （同等に $C$）。次に、3番目のBCが必要です。これは、球の正味電荷が$Q$。ヒント：見つけてみてください$\mathbf{E}=-\mathbf{\nabla}V$ ガウスの法則を使用して、 $A_0$ そして $Q$。