外積表記の結合性について混乱している

Question

この式を考えてみましょう。 $A$ そして $B$ 行列です、 $|i \rangle$ はケット（列ベクトル）であり、 $\langle j |$ ブラ（行ベクトル）です： $$ A | i \rangle \langle j | B \tag1\label1 $$

ブラケット表記の一般的な結合法則により、これは2つのベクトルの内積として解釈できます。 $$ \left( A | i \rangle \right) \left( \langle j | B \right) \tag2\label2 $$

ただし、用語を再グループ化し、外積に行列表現を与えることができることを考慮すると、\ eqref {1}は3つの行列の積として解釈することもできます。

$$ A (| i \rangle \langle j |) B \tag3\label3 $$

私の混乱は、式\ eqref {2}と\ eqref {3}の次元の不一致から来ています。\ eqref {2}は複素数スカラーを生成し、\ eqref {3}は行列を生成します。結合法則が成り立つ場合、次元は用語のグループ化に依存しないと思います。誰かが私が混乱しているところに光を当ててくれませんか？

Answer 1

内積と外積を混同しているようです。内積は次のように表されます。$$\langle i \vert j \rangle \;\;\; \text{or} \;\;\; \langle i \vert A^\dagger B \vert j\rangle.$$ 列ベクトルに行ベクトルを掛けたもの。 $C^{j \times 1} R^{1 \times i}$、結果は $j \times i$マトリックス。行ベクトルに互換性のある次元の列ベクトルを掛けたもの。$R^{1 \times j} C^{j \times 1}$、スカラーを与えます。