ガンマ関数とベータ関数の証明

Question

ベータ版の機能は、積分で定義されます$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ 評価することによって $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ 2つの異なる方法で、 $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$

ガンマ関数とベータ関数の関係の証拠がありますが、最初に代入して積分を交換した後、なぜ関数は次のようになりますか $x^{\alpha+\beta-1}$ コーミング後 $x^{\alpha-1}$ そして $x^{\beta-1}$ すべきではない $x^{\alpha+\beta-2}$？

$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$

Answer 1

重要な行をさらに詳しく調べてみましょう。置換$y=tx$ 与える $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ ご覧のとおり、 $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ 追加の場所から $-1$消えます。それで全部です。

Answer 2

複雑な積分よりもストーリーを使った方が簡単だと思います。2つのガンマ分布を想像してみてください$X \sim Gamma(a, \lambda)$ そして $Y \sim Gamma(b, \lambda)$。

これら2つを使用して、ジョイントを計算します $f_{T,W}(t,w)$ の分布：

$T = X + Y$ そして $W = \frac{X}{X+Y}$。

話として、銀行で働いている2人の店員が同じ速度で働いていると想像してみてください。 $\lambda$。Tは、両方の店員に対応しなければならない人の合計待機時間であり、Wは、人が最初の店員を待つ割合です。

同時分布のうち、これが2つの独立した分布の積であることが明らかになります。1つは $Beta$。これも覚えやすいです。