合計に関する質問 $\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk^2$
私は次の方程式が正しいことを証明する任務を負っています。
$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk^2=\begin{cases}0&\text{if }n\ \text{is odd}\\\displaystyle(-1)^m\binom{2m}m&\text{if }n=2m,m\in\mathbb Z^+\end{cases}$$
私はこの質問をどこから始めればよいのかほとんどわからないので、これを解決するためのヒントや指針があれば、それは素晴らしいことです。最初のケースは次のようになっているため、多くの用語がキャンセルされると思います$0$、および2番目のケースは、合計の「中間」項のように見えます。
回答
コメントで提案されたアプローチに加えて、あなたはそれを組み合わせて分析することを試みることができます。ご了承ください
$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k^2=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}k\binom{n}{n-k}\,.\tag{1}$$
あなたがのプールを持っていると仮定します $n$ 女性と $n$ 男性、そしてこのプールからあなたはのチームを選びたい $n$人。がある$\binom{n}k\binom{n}{n-k}$ チームを選ぶ方法 $k$ 女性と $n-k$ 男性、そう $(1)$は、女性の数が偶数である可能性のある各チームを正にカウントし、女性の数が奇数である各チームを負にカウントしています。つまり、その合計は、女性の数が偶数の可能なチームの数から、女性の数が奇数のチームの数を引いたものです。あなたはこれが$0$ いつ $n$ 奇妙で $(-1)^m\binom{2m}m$ いつ $n=2m$。
ヒント:いつ $n$奇妙な場合は、女性の数が偶数である可能性のある各チームと、女性の数が奇数であるチームをペアにするようにしてください。いつ$n$ それでも、同じ基本的な考え方を使用して、女性が少数派である可能性のある各チームと、女性が多数派であるチームをペアにします。
$$(1+X)^n(1-X)^n=\left(1-X^2\right)^{n}=\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}(-1)^mX^{2m}=\sum_{m=0}^{2n}a_mX^m$$ どこ $a_m=0$ もし $m$ 奇妙で $a_m=(-1)^{m/2}\binom{n}{m/2}$ もし $m$均等です。だが$$ (1+X)^n(1-X)^n=\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}X^k\right)\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^kX^k\right)=\sum_{m=0}^{2n}\left(\sum_{k=0}^m (-1)^k\binom{n}{k}\binom{n}{m-k}\right)X^m $$ 前の係数 $X^n$ 2つの式で同じであるため、次のようになります。 $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$、 $$ a_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2 $$
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{k = 0}^{n}\pars{-1}^{k}{n \choose k}^{2} & = \sum_{k = 0}^{n}\pars{-1}^{k}{n \choose k}{n \choose n - k} = \sum_{k = 0}^{n}\pars{-1}^{k}{n \choose k}\bracks{z^{n - k}}\pars{1 + z}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{n}}\pars{1 + z}^{n}\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}\pars{-z}^{k} = \bracks{z^{n}}\pars{1 + z}^{n}\pars{1 - z}^{n} \\[5mm] & = \bracks{z^{n}}\pars{1 - z^{2}}^{n} = \bbx{\bracks{n\ \mbox{even}}\pars{-1}^{n/2}{n \choose n/2}} \\ & \end{align}