極値がない場合にのみ、閉じた凸集合に線が含まれるのはなぜですか？[複製]
しましょう $A\subset\mathbb R^n$閉じた凸面である。ポイント$x\in A$の点の自明でない凸結合として表現できない場合、極値と呼ばれます。$A$。しましょう$\operatorname{ext}A$ の極値のセットを示します $A$。
私は次のような観察に出くわしました。$A$極端な点がない場合にのみ行が含まれます」（37ページ、備考1、Hug and Weil（2010）、pdfはここにあります）。
私はそれを見ることができます $A$ 行が含まれています $L$、それからそれは極端なポイントを持つことはできません。確かに、$x\notin L$、次にの（閉）凸閉包 $\{x\}\cup L$ 間のすべてに等しくなければなりません $L$ とに平行な線 $L$ 交差する $x$、およびそのようなセットには極端なポイントはありません。幾何学的には、これは次の構造になります。
$\qquad\qquad\qquad$
しかし、私は他の方向に進む方法がわかりません。どうすればそれを証明できますか$A$ 線が含まれていない場合、少なくとも極値が存在する必要があります（または、同等に、極値がないことは、少なくとも1つの線がに含まれていることを意味します $A$）？
回答
$A$もちろん、空ではないと見なす必要があります。次に、次元で誘導を使用できます。
に $\mathbb{R}^1$、空でない閉じた凸集合 $A$ 行を含まないものには、いずれかの形式があります $(-\infty, a]$、 $[a, +\infty)$、または $[a,b]$ （と $a \leqslant b$）、そしてこれらすべてのために $a$ の極値です $A$。
帰納法のステップについては、 $x \in A$ 任意の行を検討します $L$ 通過する $x$。以来$L \not\subset A$ ポイントがあります $y \in L\setminus A$。しましょう$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$ そして $z = x + s(y-x)$。次に、支持超平面があります$A$ 通過する $z$。これはによって与えられます$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$ いくつかのための $\eta \in \mathbb{R}^n$ と $\langle \eta, \eta\rangle = 1$。一般性を失うことなく、$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$ すべてのために $\xi \in A$。
今 $A_H = A \cap H$ 超平面の閉じた凸集合です $H$ （これは次のように識別できます $\mathbb{R}^{n-1}$）行を含まず、空ではない（ $z \in A_H$）。帰納法の仮説により、$A_H$極端なポイントがあります。しかし、の極端なポイント$A_H$ の極値でもあります $A$、ポイントの場合 $p$ の $A_H$ の2点の凸結合として表されます $A$、これらの2つのポイントは両方とも存在する必要があります $A_H$。したがって、$A$ 極端なポイントがあります。
これが他の答えのちょっとした言い換えです。
閉じた、凸状の、空でないことを証明したい $A\subset\mathbb R^n$ 線が含まれておらず、常に少なくとも極値が含まれています。
ザ・ $\mathbb R^1$ ケースは些細なことです：唯一可能な $A$ フォームの有限の閉区間または無限のセグメントです $[a,\infty)$ そして $(-\infty,a]$。したがって、次のステートメントが真であると仮定しましょう。$A\subset\mathbb R^{n-1}$。
しましょう $x\in A$ 任意の点になり、 $L$ 通過する線である $x$。したがって、$x\in L$、および仮説による $L\not\subset A$。その後、いくつかあります$y\in L\setminus A$。それでは$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ の境界上の要素である $A$、 $H$ 支持超平面である $A$ 通過する $z$、およびセットを検討します $A_H\equiv A\cap H$。これがこの構造の表現です$\mathbb R^2$：
この単純なケースでは、 $H$ 線である必要があり、したがって $A_H\subset\mathbb R^1$ 帰納法の仮説による極値が含まれています（この特定の場合） $A_H=\{z\}$）。より一般的には、$A_H$ の閉じた凸型の空でないサブセットになります $\mathbb R^{n-1}$、したがって極値が含まれます。
今では、 $A_H$ の極値でもあります $A$。言い換えれば、私たちはそれを証明しなければなりません$p\in A_H$ その後 $p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$。目的のために、私たちはそれを覚えています$A_H$ 間の共通部分として定義されます $A$ そして超平面、それはいくつかがあることを意味します $\eta\in\mathbb R^n$ そして $\alpha\in\mathbb R$ そのような、定義 $f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$、 我々は持っています $f(\xi)\le \alpha$ すべてのために $\xi\in A$、および $f(\xi)=\alpha$ すべてのために $\xi\in A_H$。
しかし、その後、 $p\in A_H$ の要素の凸結合でした $A$、 $p=\sum_k \lambda_k a_k$ と $a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$、その後 $$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ これは次の場合にのみ可能です $f(a_k)=\alpha$ すべてのために $k$、すなわちもし$a_k\in A_H$。