GRにおける電磁エネルギー運動量テンソルの保存

Aug 22 2020
  • 以下では、プランク単位が使用されています。

  • テンソルは、電磁エネルギー、運動量であります$T^{\mu\nu} = \frac{1}{4 \pi} \left[ F^{\mu \alpha}F^\nu{}_{\alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu}F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right]$ どこ $F^{\mu \nu}$ ファラデーテンソルを示します。

  • 2番目のビアンキアイデンティティから、アインシュタインテンソルの4発散がわかります $G^{\mu \nu}$ null、つまり $\nabla_{\mu} G^{\mu \nu}=0$

  • これをアインシュタイン方程式に入れる $G^{\mu \nu}=8\pi T^{\mu \nu}$ また、エネルギー運動量テンソルの保存もあります。 $\nabla_{\mu} T^{\mu \nu}=0$

  • さて、問題は、電磁エネルギー運動量テンソルの場合、4発散がヌルではないということですが、代わりに $\nabla_{\mu} T^{\mu \nu}=F^{\mu \nu}j_{\nu}$、と $j^{\nu}$ 4元電流密度。

  • それで、それはアインシュタイン方程式と互換性がありませんか?私は何かが足りないのですか?

回答

9 ValterMoretti Aug 22 2020 at 19:47

ゼロ以外の電流が流れるとすぐに $J$、電磁界は分離されておらず、重力場の完全な発生源ではありません。アインシュタイン方程式の右辺には、EMテンソルだけでなく、応力エネルギーテンソル全体を挿入する必要があります。追加された部分を使用すると、一貫した連立方程式が見つかります。