群環の計算 $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ フィールドの場合 $k$ 特性の $0$

Question

フィールドを考えてみましょう $k$ 特徴の $0$ および正の整数 $n.$BrunsとGubeladzeによるPolytopes、Rings、およびK-Theoryの定理4.19の証明では、同型写像があると述べられています。$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ どこ $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ を法とする整数の巡回群に対応する群環です $n;$しかし、私はこれを自分自身に納得させるのに苦労しています。私は信じています$k$-代数の準同型 $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ 割り当てによって誘発される $x^m \mapsto \overline m$ 全射です。 $\overline m = m \text{ (mod } n),$ だから私はそれを示したいと思います $\ker \varphi = (x^n - 1),$ しかし、私はこれを行うことができませんでした。

これが確立されると、私はそれを認識します（ $k$ 特徴がある $0$）私たちはそれを持っています $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ どこ $\Phi_d(x)$ それは $d$th円分多項式。したがって、多項式$x^n - 1$互いに素な既約多項式の積に分割します。したがって、著者は次のように主張しています$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ドメインのテンソル積です。しかし、私は方法がわかりません$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ これが実際に著者が主張していることである場合。

洞察、コメント、提案をいただければ幸いです。ありがとうございました。

Answer 1

最初の質問について。カーネルには$x^n-1$。多項式環はPIDであるため、カーネルはいくつかの多項式によって生成されます$f(x)$。その後、残り$r(x)$ の $f$ で割ったとき $x^n-1$カーネルに属している必要があります。それ$r(x)$ 学位を持っている $<n$。簡単な線形代数はそれからそれを示します$r$ です $0$。したがって、カーネルはによって生成されます$x^n-1$。