行列のカーネルの基底を選択する方法は？

Question

行列のカーネルの基底を選択する方法がわかりません。誰かがカーネルを選んだビデオを見ました

$$\ker(A) = \ker\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

基礎

$$ \mathcal B =\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\right\}$$

しかし、なぜそれらのベクトルが選ばれたのか理解できません。

階数退化定理を使用すると、にまたがる2つの線形独立ベクトルがあると結論付けることができます。 $\ker(A)$ 以来 ${\rm rank}(A)=2$ そして $\dim(\ker(A))= n-{\rm rank}(A)=4-2=2$ しかし、どうすればそれらの線形独立ベクトルを選択できますか？

誰かが私にそれを説明できますか？

Answer 1

ヒント：カーネルの次元が2であることはすでに理解しています。ベクトル $x$ カーネルで満たす $-x_1+x_2+x_4=0$ そして $4 x_3=0$。

カーネル内で線形独立な2つのベクトルを見つける必要があります。それらはカーネルの基礎を形成します。

Answer 2

別のアプローチ：行列の列は、基底ベクトルの画像が何であるかを示します。したがって、1番目と2番目の列は符号だけが異なるため、2番目の基底ベクトルの画像から最初の基底ベクトルの画像が差し引かれていることがわかります。その結果、最初の2つの基底ベクトルの合計は、それらの画像の合計にマッピングされます。$0$。同様に、2番目と4番目の基底ベクトルの画像は同じです。したがって、それらの違いは、それらの画像の違いにマッピングされます。$0$。したがって、カーネルには2つの線形独立ベクトルが含まれています。$b_1+b_2$ そして $b_2-b_4$。

カーネルがそれほど単純でない場合、このアプローチはそれほど遠くはありません（その基底ベクトルには、ここでは2つの非ゼロ成分しかありません）。しかし、いくつかの単純な行列の場合、それが機能するかどうかをすぐに確認でき、連立方程式を解く必要はありません。