行列の幾何学的解釈 $A-B$

Question

2つの行列の減算の幾何学的解釈はありますか？ $I -A$ （単位行列からの行列の減算）？

参照：もし $A$ はべき等行列であり、の範囲は $A$ との範囲 $I-A$互いに素な集合です。それを幾何学的に理解しようとしています。

行列減算の一般的なケースを幾何学的に説明できる人がいれば、それは良い助けになるでしょう。

Answer 1

一般的な答えはないと思います $A-B$、しかしの場合 $I-A$、より正確には $Q=I-P$ どこ $P$ は、特定の部分空間上の正射影行列（つまり、あなたが言うべき等行列）です。 $S$、その後 $Q=I-P$ 直交補空間の正射影です $S^{\perp}$ の $S$。

たとえば、3Dでは、線を考慮してください $S$ 方程式で $x=y=z$、標準化された単位ベクトル $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$。上の正射影行列$S$ はランク1の行列です（範囲空間が1次元であるため、ランク1）：

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

そして

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

平面への正射影です $S^{\perp}$ に直交する $S$ 方程式で $x+y+z=0$、（範囲空間が2次元になっているため、ランク2の行列を使用）。