行列ノルムを介して対称行列の最小固有値を制限
著者が次の形式の不等式を証明している論文を読んでいます。
$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$
ここに $H$ そして $H'$ 対称実数行列です（$H'$ それが重要な場合、すべての正の固有値を持ち、標準は $L_2$それぞれ、行列ノルムとフロベニウスノルム。正当化することなく、著者は次のように主張します。
$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$
どこ $\lambda_\text{min}$ は行列の最小固有値です。
これを正当化する方法がわかりません。また、（2）が（1）から推測されることを意図している場合でもわかりません。これが論文です-6ページのLemma3.2の証明の終わりです。
回答
この答えはに基づいています。この1。以下では、任意の内積を使用します。行列のノルムを取る場合、これは、使用しているベクトルノルムに関連付けられた演算子ノルムを意味します。我々は持っています：
定理。場合$A$ そして $B$ 実数対称である場合：
$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$
これを証明するための鍵は、次の式です。 $x^T Mx$、 どこ $M$ は対称行列であり、 $x$単位ノルムがあります。この表現には2つの見出語が必要です。
補題1.のために任意の行列$M$ および任意の単位ノルム $x$： $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ 証明。コーシーシュワルツと作用素ノルムの定義の簡単な適用：$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$
補題2.任意の対称行列の場合$M$ および任意の単位ノルム $x$： $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ そして限界は次のように達成されます $x$ 単位球によって異なります。
証明。しましょう$M=P^TDP$ どこ $P$ 直交していて $D$対角です。次に$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ なので $x$ 単位球によって異なりますが、 $Px$ 単位球全体でも変化するため、上記の後者の式の範囲は、単に次の範囲です。 $y^TDy$ なので $y$単位球全体の範囲。転位不平等や他のいくつかの簡単な引数は、最小値が達成されるとき$y$ に関連付けられた固有ベクトルです $\lambda_\text{min}(M)$ と最大 $y$ に関連付けられた固有ベクトルです $\lambda_\text{max}(M)$。
最後に、定理を証明できます。任意の単位ノルム$x$、 我々は持っています
$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$
補題1を第2項に、補題2を第1項に適用することにより、左側の最小値は少なくとも $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$。補題2により、左側の最小値がに等しいことがわかります。$\lambda_\text{min} (A)$。同様の議論は、定理の他の不等式を示しています。