反復スキームの収束条件

Aug 18 2020

しましょう $A$こと特異対称行列、と$\lambda_1=0$ そして $\lambda_i >0$ ために $i=2,\ldots,n$

反復を検討する

$$x^{*} = b- (A-I)x_k$$ $$x_{k+1} = \alpha x^{*} +(1- \alpha)x_k$$

どのような条件下で $x_0$$\alpha$ そして $b$、それはの真の解に収束しますか $Ax =b$


本当に動けない。計算してみました$e_{k+1}$しかし、私は有用な関係を見つけることができませんでした。また、いくつかの制約を見つける方法がわかりません$x_0$


編集

@uranixのコメントをフォローしようとしましたが、次のことがわかりました。 $$e_{k+1} = \alpha b + (I - \alpha A) x_k -x $$

これを(一貫性を使用して)次のように書き直します $$e_{k+1} = (I-\alpha A)(x_k -x)=(I- \alpha A)e_{k}$$

したがって、 $$e_{k+1} = (I-\alpha A)^k e_0$$

今、私はスペクトル半径がより小さくなければならないでしょう $1$、 しかしそれ以来 $$\lambda(I -\alpha A)= 1-\lambda(A)$$ 最初の固有値は $1-\alpha \lambda_1=1-\alpha \cdot 0 = 1$

だから私は収束について何も言うことができません...別の方法があるに違いありません。確かに、私は対称性を使用せず、条件も使用しませんでした$x_0$、本文に書かれているように

回答

uranix Aug 18 2020 at 17:42

ちょっとしたヒント。

コメントで述べたように、固有値の基礎を考慮してください。基底ベクトルは直交しており、正規直交基底を形成するようにスケーリングできます。$$ A \phi_m = \lambda_m \phi_m, \quad m = 1, \dots, m\\ (\phi_m, \phi_{m'}) = \delta_{mm'}. $$

基礎上のエラーベクトルの拡張 $e_k = \sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$展開係数を使用して収束条件を書き換えることができます。パーセヴァルのアイデンティティを使用する$$ \|e_k\|_2^2 = \sum_{m} c_{k,m}^2 $$ 私たちはそれを得る $e_k \to 0$ すべての場合にのみ発生します $m$ 各係数はゼロに収束します。つまり、 $$ \lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0, \quad m = 1,\dots,n. $$

と行動する $(I - \alpha A)^k$ オン $e_0$ 各固有値に個別に作用します。 $$ e_k = (I - \alpha A)^k e_0 = (I - \alpha A)^k \sum_{m=1}^n c_{0,m} \phi_m = \\ = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (I - \alpha A)^k \phi_m = \sum_{m=1}^n c_{0,m} (1 - \alpha \lambda_m)^k \phi_m. $$

右側との比較 $\sum_{m=1}^n c_{k,m} \phi_m$ 私たちはすぐに関係を得る $$ c_{k,m} = (1 - \alpha \lambda_m)^k c_{0,m}. $$

今、条件を見つけるのはあなた次第です $\lim_{k \to \infty} c_{k,m} = 0$ すべてのための $m = 1,\dots,n$