ハワイアンリングの基本群は数えられない
ハワイアンリングの基本群を見せないといけない（$H=\cup^{\infty}_{n=1}K_{n}$、 どこ $K_{n}$ を中心とする円です $\frac{1}{n}$ 半径付き $\frac{1}{n}$）は、ザイフェルト・ファン・カンペンの定理を使用しないと、数えられません。だから私は証明の2つのアイデアを思いついた：
1.表示 $[n]_{m}$ で反時計回りにn回移動するループになります $K_{m}$。次に$\{[n_{1}]_{1}[n_{2}]_{2}...|n_{i}\in\mathbb{Z}, i\in\mathbb{N}\}$ このセットのすべての要素はに属しているため、数えられません $\pi_{1}(H,0)$したがって、基本群は数えられません。
2.上記と同じ表記を使用して、セット $\{[1]_{f(1)}[1]_{f(2)}...|f $ からの全単射マップです $\mathbb{N} $ それ自体に$\}$ 以来、数えられない $f$は自然数の並べ替えであり、数え切れないほど多くの並べ替えが存在します。したがって、このセットは基本グループのサブセットであり、グループ自体は数えられません。
これらの有効な証拠のアイデアはありますか？
回答
あなたの考えは正しいですが、あなたはあなたがの要素をどのように考えるかを明確にする必要があります $\mathbb Z^{\mathbb N}$ の要素として $\pi_1(H)$ 結果として得られる関数 $\phi : \mathbb Z^{\mathbb N} \to \pi_1(H)$単射です。1を詳しく説明しましょう。
書きましょう $l_n^m : [0,1] \to K_n$ に基づくループの場合 $0$ 反時計回りに移動します $m$ 周りの回 $K_n$。明示的に、$l_n^m(t) = \frac{1}{n}(1- e^{2m\pi i t})$。定義する
$$\psi((m_n)) : [0,1] \to H, \psi((m_n))(t) = \begin{cases}l_n^{m_n} (n(n+1)t - n) & t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}] \\ 0 & t = 0 \end{cases}$$ これは明確に定義された連続マップです（ $0$ 有限を除くすべてが含まれています $K_n$）。しましょう$\phi((m_n)) = [\psi((m_n))]$、 どこ $[-]$ パスのホモトピークラスを示します。
それを示しましょう $\phi$単射です。撤回があります$r_n : H \to K_n$ すべてをマップします $K_r$、 $r \ne n$、へ $0$。しましょう$i_n : K_n \to H$包含を示します。地図$F_n = (r_n)_* \circ \phi$ シーケンスが $(m_n)$ によって与えられたパスのホモトピークラスに送信されます $l_n^{m_n} (n(n+1)t - n)$ ために $t \in [\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]$ 他のすべてのマップ $t$ に $0$。このパスは明らかにホモトピーです$l_n^{m_n}$。したがって、$\phi((m_n)) = \phi((m'_n))$、その後 $F_n((m_n)) = F_n((m'_n))$ すべてのために $n$、すなわち $[l_n^{m_n}] = [l_n^{m'_n}]$ すべてのために $n$。しかし、これは意味します$m_n = m'_n$ すべてのために $n$。
識別 $\pi_1(K_n)$ と $\mathbb Z$ 同型を介して $\iota_n : \mathbb Z \to \pi_1(K_n), \iota_n(m) = [l_n^m]$、これを次のように代替的に表現することができます：準同型 $$R : \pi_1(H) \to \mathbb Z^{\mathbb N}, R(u) = ((\iota_n)^{-1}(r_n)_*(u))$$ プロパティを持っています $R \circ \phi = id$。
また、サスペンションから縮小サスペンションへの商マップのマッピングコーンの基本群も見てください。