変数変換定理のnボールへの適用。
f：$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 継続的な機能であり、 $z \in \mathbb{R}^n$。それを示す$$ \int_Bf(\langle x,z \rangle)=\int_Bf(x_n|z|) $$ どこ $x=(x_1,...,x_n)$ そして $B=\{x\in \mathbb{R}^n ; |x| \leq 1\}$。
私の考えは、変数変換の定理を適用することです。直交変換を見つけようとしました$h(x)=Qx$ そのような $|detDh|=|detQ|=|\pm1|=1$。しかし、私はそのような変化を見つけることができませんでした。この変換を見つける方法に関するヒントや、この問題を解決する方法に関する新しいアイデアをいただければ幸いです。
回答
次の場合に注意してください $z=0$、次に等式は簡単に満たされるので、仮定しましょう $z\neq 0$。直交変換（または実際には任意の線形変換）を指定する1つの方法は、基底に対して何を行うかを指定することです。
以来 $z\neq 0$、直交補空間 $\{z\}^{\perp} = \ker(\langle z, \cdot\rangle)$ は $n-1$ の次元部分空間 $\Bbb{R}^n$。ここで、正規直交基底を選択します$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}\}$ この部分空間に対して、定義します $\zeta := \frac{z}{\lVert z \rVert}$。次に、$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}, \zeta\}$ の正規直交基底です $\Bbb{R}^n$。定義する$h:\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$\ begin {align} \ begin {cases} h（\ xi_i）＆= e_i \ quad \ text {forのような線形変換になります$i\in \{1,\dots, n-1\}$} \\ h（\ zeta）＆= e_n \ end {cases} \ end {align}ここで、$\{e_1, \dots, e_n\}$ の標準的な正規直交基底です $\Bbb{R}^n$。さて、$h$ は、正規直交基底を全単射基底にマッピングする線形変換であり、次のようになります。 $h$ 内積を保存します。つまり、直交線形変換です（これは自動的に $|\det h| = 1$）。
この変換には、次のような追加のプロパティがあります。 $h(z) = h(\lVert z \rVert \zeta) = \lVert z\rVert h(\zeta) = \lVert z\rVert e_n$; つまり、マップします$z$ ポジティブに $n^{th}$ 軸。