非標準分析ではなく通常の分析を使用して物理学にアプローチする

Aug 16 2020

私の知る限り、物理学では、微積分は非標準分析を使用してアプローチされます。 $dx$、 $dy$など（微小）は、限界を使用する標準的な分析アプローチではなく、固定された非常に少量として扱われます。 $0$。

非標準的なアプローチは非常に直感的で理解しやすいことを理解しています。実際、私は数日前に微積分に関連する哲学的な質問に遭遇するまで、非標準的なアプローチで微積分を行っていました。このアプローチのために私は非常に混乱し、限界を使用して微積分にアプローチしたとき、まったく新しいレベルの理解と概念の明確さを獲得したように感じました。

さて、物理学では、関数のために $f$、 $f'(x)$ または $\dfrac{df}{dx}$ の変化率として解釈されます $f(x)$ の非常に小さな変化で $x$、すなわち $dx$。また、の曲線に接するおおよその傾きとして解釈されます。$f$ で $(x,f(x))$。このアプローチと幾何学的直観は、微積分学の基本定理を導き出すためにも使用されます。$F(a)$ の曲線下面積を与える $f(x)$ から $x = 0$ に $x = a$、すなわち $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ 次に、 $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ どこ： $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ 非標準的なアプローチは、次のように導出される仕事のような特定の公式を導出するためにも使用されます。

微小変位の場合 $dx$、行われた微小な作業、すなわち $dW$ です $F_2(x)\cdot dx$
実行された作業の合計量、つまり $W$、です $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ （注：ここでは、 $F_2(x)$ 位置で粒子が受ける力を示します $(x)$。たとえば、静電力について話している場合、$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$。）

したがって、基本的に、物理学で使用される計算のほとんどは、微積分と非標準分析を使用してアプローチされます。

しかし、標準的な分析は私にははるかに厳密に思え、はるかに理にかなっています。私は、非標準分析の代わりに物理学で標準分析をどのように使用できるかを教師に尋ねた数人の友人に尋ねましたが、教師の誰も気にしないようでした。

それで、私は標準的な分析を通してどのように物理学にアプローチすることができるか知りたいです。

PS：私は10で、現在てる^番目のグレードとわずか11の基本をカバーしている^番目のグレード、まだ。高度な数学の知識があまりなくても理解できる答えをいただければ幸いです。

編集：私はすでに受け取った2つの答えに非常に感謝しています。私は無謀に非標準の分析と無限小のヒューリスティックの使用は、ユーザーが指摘したように、そうではありません1と同じであると仮定QmechanicとPM 2Ring。私が「非標準分析」という用語を使用するときはいつでも、私は実際に$dy$、 $dx$、など実際の、非常に少数の $\dfrac{dy}{dx}$ 比率として...

回答

14 ACuriousMind Aug 16 2020 at 01:40

したがって、基本的に、物理学で使用される微積分のほとんどは、微積分と非標準分析を使用してアプローチされます。

この前提は真実ではありません。無限小に関する物理学の議論は「非標準分析」の典型的な議論に似ているかもしれませんが、初等物理学は通常、非標準分析を使用しているかどうかを明確に判断できる厳密なレベルでは機能しません。物理学は分析の基本的な質問には関心がありません。たとえば、関数の導関数は、使用している基礎に関係なく、その傾きの近似値です（基礎によっては、これを導出するのは多少手間がかかる場合がありますが、それでもまだです。常に真実）。

あなたは厳しさを探している場合は、物理的な「無限小」の同等に有効な解釈は、標準の面であることが多い微分形式などは、$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ と呼ばれる1形式の定義です。 $\mathrm{d}W$、パス上の積分 $\gamma$ 作品として定義されています $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ パスに沿って。

3 user272406 Aug 16 2020 at 01:39

NSAと標準分析の厳密さに違いはありません。（モデル理論の観点からは、それらは同等です。）ただし、物理学の論文や本に見られる微積分のほとんどは、NSAにするために、少し作り直すか、少し詳しく説明する必要があります。