非コンパクト多様体の正の向き付け形式の積分について。
リーのイントロを勉強しています。Smooth Manifolds 2版に、この質問のタイトルに状況について質問があります。
彼はコンパクトなサポートを備えたフォームに対してのみ統合を定義しているので、正の方向付けフォームの統合を主張する命題16.6の項目c）をどのように解釈すればよいですか？ $\omega$ポジティブです。マニホールドがコンパクトでない限り、オリエンテーションフォームはコンパクトなサポートを持つことができないので、この積分は何らかの拡張/不適切な方法で解釈されるべきですか？
著者は、統合の定義をコンパクトにサポートされていないフォームに拡張する可能性について簡単にコメントしていますが、このプロセスをどのように実行できるかについては詳しく説明していません。
回答
なぜあなたが混乱するのかはわかりますが、仮説（$\omega$ コンパクトにサポートされ、オリエンテーションフォーム）はそれを意味します $M$コンパクトでなければなりません。したがって、そのステートメントが適用されるのはそれだけです。
リーが彼の定義をどのように導入したかに基づいて、はい、その命題のパート（c）に加えて、 $M$コンパクトです。ただし、多様体での統合の定義は、フォームがコンパクトにサポートされていない場合にも拡張できます。コンパクトサポートの仮定は、積分を確実にするためにのみ機能することに注意してください$\int_M \omega := \sum_i \int_M \psi_i M$は有限の合計であるため、すべてが明確に定義されます（また、処理する無限級数がないため、収束の問題はありません）。したがって、定義を非コンパクトなサポートケースに拡張するには、定義を体系的に再検討し、仮説を弱める方法を確認する必要があります。
に特定のトポロジ制限があることを思い出してください $M$（第二可算性やハウスドルフネスなど。これはすでにリーの多様体の定義の一部だと思います）、それは1の分割を認めています。連続的なトップディグリーフォームが与えられたとしましょう$\omega$ オン $M$。次に、可算アトラスを選択します$\mathcal{A}=\{(U_i,\alpha_i)\}_{i=1}^{\infty}$、および1の分割 $\Psi=\{\psi_i\}_{i=1}^{\infty}$ アトラスに従属 $\mathcal{A}$ （すなわち $\text{supp}(\psi_i)$ コンパクトであります $U_i$）。次に、フォーム$\psi_i\omega$ チャートドメイン内に含まれるコンパクトなサポートがあります $U_i$、したがって、その積分は命題に従って明確に定義されています $(16.4)$。
私たちに言わせてください $\omega$ アトラスに関して可積分です $\mathcal{A}$ と統一の分割 $\Psi$、次の合計が有限の場合： \begin{align} \sum_{i=1}^{\infty} \int_M |\psi_i \omega| < \infty \tag{*} \end{align}この場合、\ begin {align} \ int _ {（M、\ mathcal {A}、\ Psi）} \ omega：= \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ int_M \ psi_i \ omega \を定義します。鬼ごっこ{$**$} \ end {align}
の絶対値によって注意してください $\int_M |\psi_i\omega|$、私たちはフォームをプッシュフォワードすることを意味します $\psi_i\omega$ を使用して $\alpha_i$、 $(\alpha_i)_*(\psi_i\omega) = f_i\, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n$ いくつかの継続的な $f_i:\alpha_i[U_i]\to \Bbb{R}$ コンパクトなサポートで、 $\int_M |\psi_i\omega| = \int |f_i| \, dV$; ここで、RHSには標準積分があります（リーマンまたはルベーグのいずれか。リーマンの場合は、ヨルダンで測定可能な積分の領域にもっと注意を払う必要があります。つまり、境界と境界の測度がゼロなど）。$\Bbb{R}^n$ 非負の関数の。
フォームの「可積分性」のこの定義には、「絶対収束」が必要なためです。 $(*)$、その結果、 $(**)$存在します。さらに、絶対収束のため、可積分性の概念、および結果として得られる積分は、アトラスの選択に依存しないことを示すことができます。$\mathcal{A}$、または1の分割 $\Psi$ （アクセスできる場合は、マニフォールド上のスピバクの計算、定理 $3.12$ 非常によく似たものを証明します）。