非交代結び目図

Question

（私は数日前にMSEでこれを明確な解決策なしに尋ねました。）

すべての交差点が横方向である、閉じた自己交差曲線から始めます。次に、次のように交代結び目図の反対のようなものを形成します。どこからでも始めて、カーブを横断し、以前に訪れたことのない交差点ごとに、上/上に移動します。交差点を以前に訪れたことがある場合は、割り当てられた交差点の指定を残します。

以下に2つの例を示します。（a）は明らかに自明な結び目です。（b）自明な結び目でもありますが、おそらくそれほど明白ではありません。

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^{赤い円は開始点を示し、矢印はトラバース方向を示します。}

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これらの図は明らかに自明な結び目を表すと思っていましたが、明確な証拠は見当たりません。そう：

Q。そのような結び目図が常に自明な結び目を表すことを証明（または反証）します。

Answer 1

平面曲線を次のようにパラメータ化してみましょう。 $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$ と仮定します $\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$。次に、あなたの曲線は、によってパラメータ化された結び目の結び目図です。$K:[0,2]\to\mathbb R^3$ によって与えられた $$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$（基本的に、ロープが一定の速度で下がるように、結び目をスティックに吊るすことを想像してください。）次に、この結び目を「ほどく」ことができます。つまり、$\gamma$ 通過するだけ $(0,0)$ エンドポイントで、私たちは書くことができます $\gamma(t)$ 極座標で $(r(t),\phi(t))$ と $r,\phi$ 継続 $(0,1)$。その後、自明な結び目をすることができます$K$ 次の一連の結び目によって $K_s$、unnotで始まり、で終わる $K$、円筒座標で書かれています： $$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$