非交代結び目図
すべての交差点が横方向である、閉じた自己交差曲線から始めます。次に、次のように交代結び目図の反対のようなものを形成します。どこからでも始めて、カーブを横断し、以前に訪れたことのない交差点ごとに、上/上に移動します。交差点を以前に訪れたことがある場合は、割り当てられた交差点の指定を残します。
以下に2つの例を示します。（a）は明らかに自明な結び目です。（b）自明な結び目でもありますが、おそらくそれほど明白ではありません。
赤い円は開始点を示し、矢印はトラバース方向を示します。
これらの図は明らかに自明な結び目を表すと思っていましたが、明確な証拠は見当たりません。そう：
Q。そのような結び目図が常に自明な結び目を表すことを証明（または反証）します。
回答
あなたが説明するような図は降順図と呼ばれ、実際には常に些細な結び目になります。証拠については、のLemma3.2.10を参照してください。http://www.math.ucsd.edu/~justin/Roberts-Knotes-Jan2015.pdf。前の答えは正しい考えを持っています。
これは常に自明な結び目です。私はアドバイザーから紹介されましたが、もともと彼の主張でもないと思いますので、誰が最初にこれをしたのかわかりません。
これを確認するために、ノットがアンノットである場合、ノットの橋数が1であるという事実を使用します。
結び目の投影を描き、開始点を選択します。投影を横断するときに交差点を越えるだけで、この投影を図に作成します。投影がで描かれている場合$x,y$ 平面どこ $z=0$、で結び目を作成することができます $\mathbb{R}^3$ すべてを作ることによって $i$-レベルで到達する新しい交差点 $z=i$。したがって、投影内のすべての交差点に遭遇し、最初の交差点に戻ろうとしているとき、3空間の結び目はある高さから下がる必要があります。$z$ に戻る値 $z=0$。
私たちが持っているのは、最後の交差点と最初の交差点の間の小さなセグメントを除いて、結び目がどこでも厳密に増加している高さ関数です。したがって、1つの最大値と1つの最小値があり、したがって、橋数1ノット、つまりアンノットがあります。
私は専門家ではないので、どれほど役立つかはわかりませんが、ここに正しいかもしれないアイデアがあります。
まず、図面に垂直な3番目の次元を導入し、「最初の」点がまっすぐ「上」に向かうセグメントの投影であることを確認します。次に、残りの結び目を配置して、線に沿って進みながら、下がるだけになるようにする必要があります。ヘルタースケルター（ほぼ垂直の階段が上がっている）を想像してみてください。そうすれば、私が何を意味するのかがわかります。これは少し手ぶれですが、「下る」途中で交差点を通過するときに、各交差点に固定の高さを割り当てて、結び目の他のすべてのポイントに拡張できると思います。（たとえば、「階段」部分が高さから上昇する場合$0$ に $1$、 にとって $n$ 交差点、それぞれを2回通過すると、高さを予約できます $\frac{k}{2n+1}, k=1,2,\ldots,2n$ 結び目の「交差する」ポイントについて。）
残りは、この結び目がアンノットに変形できることを示すための簡単な計算である必要があります。元のノット（「スライド」部分）の方程式が次のようにパラメータ化されている場合$(\rho(t)\cos\phi(t),\rho(t)\sin\phi(t),1-t), t\in[0,1]$、と $\rho(0)=\rho(1)=0$、それからそれを変形させます $\lambda\in[0,1]$ に $(\rho(t)\cos\lambda\phi(t),\rho(t)\sin\lambda\phi(t),1-t)$。 $\lambda=1$ 元の結び目を与えますが、 $\lambda=0$ 明らかな自明な結び目を与える $x-z$ 飛行機。