非線形可積分微分方程式
パンデミックのために行われなかった物理学の数学のチュートリアルからの質問を解決しようとしているので、答えやそれを解決する適切な方法がわかりません。それにもかかわらず、ここに質問とそれを解決するための私の試みがあります。フィードバック、それにアプローチする方法に関する提案、およびさらなる読書の推奨事項は非常に高く評価されます。
運動方程式を次のようにします。 $$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$ そして、 $$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$ どこ $V(x)$ 既知の導出可能なポテンシャルであり、 $E$ は独立しています $t$。
- 与える方程式の積分によって $\dot{x}$、初期条件で解を表現する $x(t_0)=x_0$ t（x）の形式で。
方程式から $(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
正の根を取り、初期状態から私たちが知っている $Cste=-t_0$
$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$ 2.無限大で増加するポテンシャルを次のようにします。 $$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$ どこ $C>0$ そして $a>0$。初速度の粒子を考える$v_0>0$。の漸近的な振る舞いを与える$x(t)$ いつ $E>0$ そして $E=0$。
の表現に置き換えてみました$V(x)$ 積分の無限大で： $$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$ 私はそれを次の形に変換しようとしていました $\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ 代用することで、しかし、おそらく私が $V(x)$無限大で。
また、積分を計算せずにこの質問を回避する方法があると思いますが、私はそれを見つけることができないようです。誰かが私を助けてくれることを願っています。
回答
最初の質問に正しく答えたと思いますが、2番目の質問の問題は、私の意見では非常に難しい不定積分を取得しようとしているという事実から生じています。これが私のアプローチです：
xが無限大に近いと仮定すると、次のようになります。$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
これを方程式に置き換えましょう $(1)$ そしてそれを統合します： $$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$ だから私たちは持っています： $$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$ また、 $$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$ しましょう $D=a(2a+2)(2a+3)$、 $$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$ 方程式でこれを置き換える $(2)$ 紹介したいので $E$ 漸近的振る舞いを研究するためのソリューションで：
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
これがのグラフです$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$ （どこ $a$ そして $Z$より良いアイデアを与えるために定数です）。スライダーで遊んで、関数の動作を確認してください。
グラフから、$E=0$ 位置にある粒子 $x_1$ 近づき始める $x=0$、ポテンシャルの起源と見なすことができますが、そこに到達するまでには無限の時間がかかります（ほとんどの実用的な目的では、停止していると見なすことができます）。で、もし$E>0$ 同じことが起こりますが、ギャップが大きくなり、パーティクルが原点に到達する前に漸近的に停止したことを示します。