評価する方法 $\int _0^1\frac{\arctan \left(\frac{x^2-x}{x-2}\right)}{x}\:dx$ [複製]

Question

評価するための最良の方法は何か知りたい $$\int _0^1\frac{\arctan \left(\frac{x^2-x}{x-2}\right)}{x}\:dx$$ 等しいようです $\frac{G}{3}$ どこ $G$ カタランの定数です、部分積分を試して終了しました $$-\int _0^1\frac{\ln \left(x\right)\left(2-4x+x^2\right)}{4-2x^3+2x^2-4x+x^4}\:dx$$ しかし、これは複雑に見えるだけで、私もの議論を置き換えようとしました $\arctan$ とサブ $\frac{1-t}{1+t}$ しかし、どちらも単純化されたものではありません、これに取り組む方法についていくつかのヒントを教えてもらえますか？

元の積分も等しい $$-\frac{i}{2}\left(\int _0^1\frac{\ln \left(-2i+ix+x-x^2\right)}{x}\:dx-\int _0^1\frac{\ln \left(-2i+ix-x+x^2\right)}{x}\:dx\right)$$ しかし、私は複雑な方法を避けたいと思います。

Answer 1

検討する $$\int \frac{2-4x+x^2}{4-2x^3+2x^2-4x+x^4}\,\,\log \left(x\right)\:dx$$分母の四次方程式は、4つの複素根を示しています。それらを呼びましょう$(a,b,c,d)$。部分分数を使用して、次のような4つの積分で終わります。$$I_k=\int \frac{\log(x)}{x-k}\,dx=\text{Li}_2\left(\frac{x}{k}\right)+\log (x) \log \left(1-\frac{x}{k}\right)$$ $$J_k=\int_0^1 \frac{\log(x)}{x-k}\,dx=\text{Li}_2\left(\frac{1}{k}\right)$$ と悪夢 $$2\sqrt 2 \,\int_0^1 \frac{2-4x+x^2}{4-2x^3+2x^2-4x+x^4}\,\,\log \left(x\right)\:dx$$ $$-i \left(\sqrt{2} \text{Li}_2\left(\left(-\frac{1+i}{2}\right) (-1)^{1/6}\right)-\left(\sqrt{3}-1\right) \sqrt{2+\sqrt{3}} \text{Li}_2\left(\left(\frac{1-i}{2}\right) (-1)^{1/6}\right)+\sqrt{2} \left(\text{Li}_2\left(\left(\frac{1+i}{4}\right) \left(\sqrt{3}-i\right)\right)-\text{Li}_2\left(\left(\frac{1-i}{2} \right) (-1)^{5/6}\right)\right)\right)$$ 以来 $$a=\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{3}-i \sqrt{2 \left(2-\sqrt{3}\right)}\right)\qquad b=\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{3}+i \sqrt{2 \left(2-\sqrt{3}\right)}\right)$$ $$c=\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}-i \sqrt{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}\right)\qquad d=\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{3}+i \sqrt{2 \left(2+\sqrt{3}\right)}\right)$$ 私の問題は、最終結果を単純化できないことです（数値的には正確です $-\frac{C}{3}$。