IMO 2003 / G1：それを示す $PQ=QR$ の二等分線が $\angle ABC$ そして $\angle ADC$ と同時 $AC$。

Question

しましょう $ABCD$外接四辺形である。しましょう$P$、 $Q$、 $R$ からの垂線の足になります $D$ 行に $BC$、 $CA$、 $AB$、それぞれ。それを示す$PQ=QR$ の二等分線が $\angle ABC$ そして $\angle ADC$ と同時 $AC$。

図は次のとおりです。

射影ジオを使いたい。

私の進歩：それは非常に知られています$P,Q,R$ 同一線上にある[シムソンの定理]

さて、ここに補題があります。

補題：共円四辺形が与えられた$ABCD$、二等分線 $\angle ABC$ そして $\angle ADC$ と同時 $AC$ 場合に限り $ABCD$ 高調波です。

証明：if$ABCD$ 調和しているなら $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ 、二等分線の定理を適用すると、完了です。

逆方向を証明するために後戻りすることができます。

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したがって、言い換えられた質問は次のとおりです。

しましょう $ABCD$外接四辺形である。しましょう$P$、 $Q$、 $R$ からの垂線の足になります $D$ 行に $BC$、 $CA$、 $AB$、それぞれ。それを示す$Q$ の中間点です $PR$ 場合に限り $ABCD$ 調和的です：

さて、プロジェクティブジオを使うように言われたので、上映する予定です。 $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$。今、私は得ることができます$P_{\infty}$シムソンの定理に平行な線を考えても、どの線をとることができないか。私は平行線を取りました$PR$ 使って $D$、しかし続行できません。

Answer 1

拡張する $DQ$ でサークルに会うために $X$その場合、コメントで述べられているように、BXはシムソンの定理に平行になります。

一部の場合：今、 $BX$ 会う $AC$ で $Y$で見通しをとる $B$ ラインに $AC$ それを示すために $(Y,Q,A,C)$ ハーモニック今、 $X$ それを示すために円に $ABCD$高調波です。他の方向も同様に証明できます。